科学测量：电源的电动势和内阻

【学习目标】

【学习重难点】

1．能用与闭合电路相关的证据说明结论并作出解释。

2．会用作图方法分析实验数据，测得电源的电动势和内阻。

3．提升实验操作能力、数据分析与解释能力。

【学习过程】

一、实验目的

（1）测量电源的电动势和内阻。

（2）学习通过计算和作图分析处理实验数据。

二、实验器材

电流表、电压表、滑动变阻器、待测干电池、开关、导线等。

三、实验原理与设计

利用闭合电路欧姆定律来测量并计算与分析，电路图如图所示。通过改变滑动变阻器的阻值改变电路状态，电路中的电压、电流均发生变化，用电压表和电流表测量出U和I的两组数据，列出两个方程，E＝U₁＋I₁r，E＝U₂＋I₂r进而求解出电动势E和内阻r，E＝I2－I1(I2U1－I1U2)，

r＝I2－I1(U1－U2)。

四、实验步骤

1．电流表用0～0.6 A量程，电压表用0～3 V量程，按实验原理图连接好电路。

2．把滑动变阻器的滑片移到一端，使其接入电路的阻值最大。

3．闭合开关，调节滑动变阻器，使电流表有明显的示数，记录一组数据（I₁，U₁）。用同样的方法测量几组U、I值。

4．断开开关，整理好器材。

5．处理数据，用公式法和作图法求出电源的电动势和内阻。

五、数据分析

1．求平均值法：由E＝U₁＋I₁r，E＝U₂＋I₂r可解得：E＝I1－I2(I1U2－I2U1)，r＝I1－I2(U2－U1)。可以利用U、I的值多求几组E、r的值，算出它们的平均值。

2．作U－I图像法

（1）本实验中，为了减小实验误差，一般用图像法处理实验数据，即根据多次测出的U、I值，作U－I图像；

（2）将图线两侧延长，纵轴截距点意味着断路情况，它的数值就是电源电动势E；

（3）横轴截距点（路端电压U＝0）意味着短路情况，它的数值就是短路电流I_短＝r(E)；

（4）图线斜率的绝对值即电源的内阻r，即r＝ΔI(ΔU)＝I短(E)，如图所示。

六、误差分析

1．偶然误差：主要来源于电压表和电流表的读数以及作U－I图线时描点不准确。

2．系统误差：主要原因是电压表的分流作用，使得电流表上读出的数值比流过电源的电流偏小一些。由E＝U＋Ir知，电动势的测量值偏小；实验测的内阻实际上是电压表与电源内阻的等效值，所以测算的内阻也偏小，即E_测＜E_真，r_测＜r_真。

七、注意事项

1．为使干电池的路端电压有明显变化，应选取内阻较大的旧干电池和内阻较大的电压表。

2．实验中不能将电流调得过大，且读数要快，读完后立即切断电源，防止干电池大电流放电时内阻r的明显变化。

3．当干电池的路端电压变化不很明显，作图像时，纵轴单位可取得小一些，且纵轴起点可不从零开始。

如图所示，此时图线与纵轴交点仍为电池的电动势E，但图线与横轴交点不再是短路电流，内阻要在直线上取较远的两点用r＝|ΔI(ΔU)|求出。

[试题案例]

一、实验原理和数据处理

[例1] 在“用电流表和电压表测定电池的电动势和内阻”的实验中。

（1）备有如下器材

A．干电池1节  B．滑动变阻器（0～20 Ω）  C．滑动变阻器（0～1 kΩ）  D．电压表（0～3 V）  E。电流表（0～0.6 A）

F。电流表（0～3 A）  G。开关、导线若干

其中滑动变阻器应选________，电流表应选________。（只填器材前的序号）

（2）为了最大限度的减小实验误差，请在虚线框中画出该实验最合理的电路图。

（3）某同学根据实验数据画出的U－I图像如图所示，由图像可得电池的电动势为________V，内阻为________Ω。

（4）写出该实验误差产生的原因：________________；电动势的测量值__________真实值，内阻的测量值________真实值。（填“大于”“等于”或“小于”）

解析  （1）滑动变阻器的最大值一般为待测电阻的几倍时较好，在该实验中因干电池内阻比较小，故滑动变阻器选择较小一点的即可，故滑动变阻器应选B．（也可以从便于调节的角度来分析，应该选择阻值较小的滑动变阻器。）

电流表的量程要大于电源允许通过的最大电流，对于干电池来讲允许通过的最大电流一般是0.5 A，故需要选择0～0.6 A，所以电流表应选E。

（2）电路图如图所示。

（3）由U－I图像可知：纵截距为1.5 V，故干电池的电动势为1.5 V；内阻r＝ΔI(ΔU)＝0.6－0(0.9－1.5) Ω＝1 Ω。（4）由于电压表的分流作用，使电流表读数总是比干路电流小，造成E_测＜E_真，r_测＜r_真。

答案  （1）B  E  （2）见解析图

（3）1.5  1  （4）电压表的分流  小于  小于

二、安阻法（或伏阻法）测E、r的实验原理与数据处理

[例2] 某研究性学习小组利用如图甲所示电路测量电池组的电动势E和内阻r。根据实验数据绘出如图乙所示的R－I(1)图线，其中R为电阻箱读数，I为电流表读数，由此可以得到E＝________，r＝________。

解析  由欧姆定律有，E＝I（R＋r），R＝I(E)－r，

由此知题图乙中图线的斜率为电动势E，纵轴截距大小为内阻r。

E＝3.0(8.0－（－1.0）) V＝3.0 V，r＝1.0 Ω。

答案  3.0 V  1.0 Ω

方法凝炼

1．安阻法

由E＝IR＋Ir可知，只要能得到I、R的两组数据，列出关于E、r的两个方程，就能解出E、r，用到的器材有干电池、开关、电阻箱、电流表，电路图如图所示。

2．伏阻法

由E＝U＋R(U)r知，如果能得到U、R的两组数据，列出关于E、r的两个方程，就能解出E、r，用到的器材是干电池、开关、电阻箱、电压表，电路图如图所示。

【达标检测】

[基础过关]

1．（多选）用伏安法测电源的电动势和内阻的实验中，下列说法正确的是（    ）

A．应选用旧的干电池作为被测电源，以使电压表读数变化明显

B．应选用内阻较小的电压表和电流表

C．移动滑动变阻器的滑片时，不能使滑动变阻器短路造成电流表过载

D．使滑动变阻器阻值尽量大一些，测量误差才小

解析  由U＝E－Ir可知，应选用旧的干电池作为被测电源，以使电压表读数变化明显，选项A正确；实验所用电池内阻很小，相对于电源来说应采用电流表外接法，电流表外接法的误差来源是电压表的分流，电压表内阻越大，实验误差越小，故应选择内阻大的电压表进行实验，选项B错误；移动滑动变阻器的滑片时，不能使滑动变阻器短路造成电流表过载，防止损坏电流表，选项C正确；如果电源电动势较小，实验时滑动变阻器阻值不宜太大，滑动变阻器阻值太大，电路中电流太小，电流表误差较大甚至不能读数，并且调节电流时非常困难，选项D错误。

答案  AC

2．（多选）用如图甲所示的电路来测量干电池的电动势和内阻，根据测得的数据作出如图乙所示的U－I图线，由图乙可知（    ）

A．电池电动势的测量值是1.40 V

B．电池内阻的测量值是3.50 Ω

C．外电路发生短路时的电流为0.40 A

D．电压表的示数为1.20 V时电流表的示数I′＝0.20 A

解析  图像与纵轴的交点为电池的电动势E＝1.40 V；电池的内阻r＝ΔI(ΔU)＝0.40(1.40－1.00) Ω＝1 Ω；I_短＝r(E)＝1.40 A，根据E＝U＋I′r，代入数据得I′＝r(E－U)＝1(1.40－1.20) A＝0.20 A，故A、D正确。

答案  AD

3．用电流表和电压表测定电池的电动势E和内阻r，所用电路如图（A）所示，一位同学测得的六组数据如下表所示。

（1）试根据这些数据在图（B）中作出U－I图线。

（2）根据图线求出电池的电动势E＝________V，电池的内阻r＝________Ω。

解析  （1）作图线时应使尽可能多的点落在直线上，个别偏离太远的点应舍去，图线如图所示。

（2）由图线与纵轴的交点可得电池的电动势E＝1.45 V，再读出图线与横轴交点的坐标（0.65，1.00），由E＝U＋Ir得r＝I(E－U)≈0.69 Ω。

答案  （1）见解析图  （2）1.45  0.69

[能力提升]

4．某学习小组的同学设计了如图所示的电路来测量定值电阻R₀的阻值（约为几欧到十几欧）及电源的电动势E和内阻r。

实验器材有：待测电源，待测电阻R₀，电流表A（量程为0.6 A，内阻不计），电阻箱R（0～99.9 Ω），开关S₁和S₂，导线若干。

（1）先测电阻R₀的阻值。请将学习小组同学的操作补充完整；

先闭合S₁和S₂，调节电阻箱，读出其示数R₁和对应的电流表示数I，然后______________________，使电流表的示数仍为I，读出此时电阻箱的示数R_2．则电阻R₀的表达式为R₀＝______________。

（2）同学们通过上述操作，测得电阻R₀＝9.5 Ω，继续测电源的电动势E和内阻r。该小组同学的做法是：闭合S₁，断开S₂，多次调节电阻箱，读出多组电阻箱示数R和对应的电流表示数I，如下表数据：

①根据下图给定的坐标系并结合以上数据描点作图。

②利用图像求出该电源的电动势E＝________V，内阻r＝________Ω（保留两位有效数字）。

解析  （1）器材中只有电流表而没有电压表，无法由伏安法求出电阻，故只能利用电阻箱得出待测电阻的阻值；当电路中电流相同时，电阻也应相同；因此可以控制电流相等，利用电阻箱的电阻，得出待测电阻的阻值；因此缺少的步骤应为：断开S₂，调节电阻箱的阻值，使电流表的示数仍为I；而待测电阻等于两次电阻箱的示数之差，即R₀＝R₁－R₂。

（2）① 描点连线如图所示。

② 由闭合电路欧姆定律可知：E＝I（R＋R₀＋r），

可得：I(1)＝E(R)＋E(R0＋r)，

结合图像可知E＝6.0 V，r＝2.5 Ω。

答案  （1）断开S₂，调节电阻箱的阻值  R₁－R₂

（2）①见解析图  ②6.0  2.5