8．3　简单几何体的表面积与体积

第1课时　柱、锥、台的表面积和体积

 问题导学

预习教材P114－P117的内容，思考以下问题：

1．棱柱、棱锥、棱台的表面积如何计算？

2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是什么？

3．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式是什么？

4．柱体、锥体、台体的体积公式分别是什么？

5．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式、体积公式之间分别有怎样的关系？

1．棱柱、棱锥、棱台的表面积

多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和．

2．棱柱、棱锥、棱台的体积

(1)V_棱柱＝Sh；(2)V_棱锥＝3(1)Sh；V_棱台＝3(1)h(S′＋＋S)，其中S′，S分别是棱台的上、下底面面积，h为棱台的高．

3．圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积

■名师点拨

1．柱体、锥体、台体的体积

(1)柱体：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh.

(2)锥体：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝3(1)Sh.

(3)台体：台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，则V＝3(1)h.

2．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系

S_圆柱侧＝2πrlr′＝r(――→)S_圆台侧＝π(r′＋r)lr′＝0(――→)S_圆锥侧＝πrl.

3．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系

V_柱体＝ShS′＝S(――→)V_台体＝3(1)(S′＋＋S)hS′＝0(――→)V_锥体＝3(1)Sh.

 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)几何体的表面积就是其侧面面积与底面面积的和．(　　)

(2)几何体的侧面积是指各个侧面的面积之和．(　　)

(3)等底面面积且等高的两个同类几何体的体积相同．(　　)

(4)在三棱锥P­ABC中，V_P­ABC＝V_A­PBC＝V_B­PAC＝V_C­PAB.(　　)

答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)√

 棱长都是 1 的三棱锥的表面积为(　　)

A.　　　B．2　　　C．3　　　D．4　　　

解析：选 A．S_表＝4S_正△＝4×4(3)＝.

 若长方体的长、宽、高分别为 3 cm，4 cm，5 cm，则长方体的体积为(　　)

A．27 cm³  B．60 cm³  C．64 cm³  D．125 cm³

解析：选 B．长方体即为四棱柱，其体积为底面积×高，即为 3×4×5＝60(cm³)．

 圆台的上、下底面半径分别为 3 和 4，母线长为 6，则其表面积等于(　　)

A．72  B．42π  C．67π  D．72π

解析：选 C．S_表＝π(3²＋4²＋3×6＋4×6)＝67π.

柱、锥、台的表面积

　(1)若圆锥的正视图是正三角形，则它的侧面积是底面积的(　　)

A.倍　　　　　　　　 B．3 倍

C．2 倍   D．5 倍

(2)已知正方体的 8 个顶点中，有 4 个为侧面是等边三角形的三棱锥的顶点，则这个三棱锥与正方体的表面积之比为(　　)

A．1∶   B．1∶

C．2∶   D．3∶

(3)已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍，母线长为 3 ，圆台的侧面积为 84π，则该圆台较小底面的半径为(　　)

A．7　　　   B．6

C．5   D．3

【解析】　(1)设圆锥的底面半径为 r，母线长为 l，则由题意可知，l＝2r，于是 S_侧＝πr·2r＝2πr²，S_底＝πr²，可知选 C.

(2)棱锥 B′­ACD′为适合条件的棱锥，四个面为全等的等边三角形，设正方体的棱长为 1，则 B′C＝，S_△B′AC＝2(3).

三棱锥的表面积 S_锥＝4×2(3)＝2，

又正方体的表面积 S_正＝6.

因此 S_锥∶S_正＝2∶6＝1∶.

(3)设圆台较小底面的半径为 r，则另一底面的半径为 3r.由 S_侧＝3π(r＋3r)＝84π，解得 r＝7.

【答案】　(1)C 　(2)B 　(3)A

空间几何体表面积的求法技巧

(1)多面体的表面积是各个面的面积之和．

(2)组合体的表面积应注意重合部分的处理．

(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．

　已知正四棱台(正四棱锥被平行于底面的平面所截，截面与底面间的部分)上底面边长为4，侧棱和下底面边长都是8，求它的侧面面积．

解：法一：设正四棱台为ABCDA₁B₁C₁D₁，如图①.设B₁F为斜高．

在Rt△B₁FB中，BF＝2(1)×(8－4)＝2，B₁B＝8，

所以B₁F＝ ＝2，

所以S_正棱台侧＝4×2(1)×(4＋8)×2

＝48.

①

法二：设正四棱台为ABCDA₁B₁C₁D₁，延长正四棱台的侧棱交于点P，作面PBC上的斜高PE，交B₁C₁于E₁，如图②.

设PB₁＝x，则x＋8(x)＝8(4)，

解得x＝8.

所以PB₁＝B₁B＝8，

所以E₁为PE的中点，

又PE₁＝1(2)1(2)1(2)＝ ＝2，                              ②

所以PE＝2PE₁＝4.

所以S_正棱台侧＝S_{大正棱锥侧}－S_{小正棱锥侧}

＝4×2(1)×8×PE－4×2(1)×4×PE₁

＝4×2(1)×8×4－4×2(1)×4×2

＝48.

柱、锥、台的体积

　如图所示，正方体ABCD­A₁B₁C₁D₁的棱长为a，过顶点B，D，A₁截下一个三棱锥．

(1)求剩余部分的体积；

(2)求三棱锥A­A₁BD的体积及高．

【解】　(1)V三棱锥A₁­ABD＝3(1)S_△ABD·A₁A

＝3(1)×2(1)·AB·AD·A₁A＝6(1)a³.

故剩余部分的体积

V＝V_正方体－V三棱锥A₁­ABD＝a³－6(1)a³＝6(5)a³.

(2)V三棱锥A­A₁BD＝V三棱锥A₁­ABD＝6(1)a³.

设三棱锥A­A₁BD的高为h，

则V三棱锥A­A₁BD＝3(1)·S△A₁BD·h

＝3(1)×2(1)×2(3)(a)²h＝6(3)a²h，

故6(3)a²h＝6(1)a³，

解得h＝3(3)a.

求几何体体积的常用方法

(1)公式法：直接代入公式求解．

(2)等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．

(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等．

(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．

[提醒]　求几何体的体积时，要注意利用好几何体的轴截面(尤其为圆柱、圆锥时)，准确求出几何体的高和底面积．　 

1．圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是 16π，则圆锥的体积是(　　)

A.3(64π)　　　　　　　　　　 B.3(128π)

C．64π   D．128π

解析：选 A．作圆锥的轴截面，如图所示．由题设，在 △PAB中，∠APB＝90°，PA＝PB.

设圆锥的高为 h，底面半径为 r，

则 h＝r，PB＝r.

由 S_侧＝π·r·PB＝16π，

得πr²＝16π.所以 r＝4.则 h＝4.

故圆锥的体积 V_圆锥＝3(1)πr²h＝3(64)π.

2．圆柱的侧面展开图是长 12 cm，宽 8 cm 的矩形，则这个圆柱的体积为(　　)

A.π(288) cm³   B.π(192) cm³

C.π(288) cm³或π(192) cm³   D．192π cm³

解析：选 C．当圆柱的高为 8 cm时， V＝π×2π(12)×8＝π(288)(cm³)，当圆柱的高为 12 cm时，V＝π×2π(8)×12＝π(192)(cm³)．

3．(2019·高考全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD­A₁B₁C₁D₁挖去四棱锥O­EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA₁＝4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm³.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.

解析：由题易得长方体ABCD­A₁B₁C₁D₁的体积为6×6×4＝144(cm³)，四边形EFGH为平行四边形，如图所示，连接GE，HF，易知四边形EFGH的面积为矩形BCC₁B₁面积的一半，即2(1)×6×4＝12(cm²)，所以V_{四棱锥O­EFGH}＝3(1)×3×12＝12(cm³)，所以该模型的体积为144－12＝132(cm³)，所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g)．

答案：118.8

组合体的表面积和体积

　如图在底面半径为 2，母线长为 4 的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积．

【解】　设圆锥的底面半径为 R，圆柱的底面半径为 r，表面积为 S.

则 R＝OC＝2，AC＝4，

AO＝＝2.

如图所示，

易知△AEB∽△AOC，

所以AO(AE)＝OC(EB)，即3(3)＝2(r)，所以 r＝1，

S_底＝2πr²＝2π，S_侧＝2πr·h＝2π.

所以 S＝S_底＋S_侧＝2π＋2π

＝(2＋2)π.

1．[变问法]本例中的条件不变，求圆柱的体积与圆锥的体积之比．

解：由例题解析可知：圆柱的底面半径为 r＝1，高 h＝，所以圆柱的体积 V₁＝πr²h＝π×1²×＝π.

圆锥的体积 V₂＝3(1)π×2²×2＝3(3)π.

所以圆柱与圆锥的体积比为 3∶8.

2．[变问法]本例中的条件不变，求图中圆台的表面积与体积．

解：由例题解析可知：圆台的上底面半径 r＝1，下底面半径 R＝2，高 h＝，母线 l＝2，所以圆台的表面积 S＝π(r²＋R²＋r·l＋Rl)＝π(1²＋2²＋1×2＋2×2)＝11π.

圆台的体积 V＝3(1)π(r²＋rR＋R²)h＝3(1)π(1²＋2＋2²)×＝3(3)π.

3．[变条件、变问法]本例中的“高为”改为“高为 h”，试求圆柱侧面积的最大值．

解：设圆锥的底面半径为 R，圆柱的底面半径为 r，

则 R＝OC＝2，AC＝4，

AO＝＝2.

如图所示易知△AEB∽△AOC，

所以AO(AE)＝OC(EB)，

即3(3－h)＝2(r)，

所以 h＝2－r，

S_圆柱侧＝2πrh＝2πr(2－r)

＝－2πr²＋4πr，

所以当 r＝1，h＝时，圆柱的侧面积最大，其最大值为 2π.

求组合体的表面积与体积的步骤

(1)分析结构特征：弄清组合体的组成形式，找准有关简单几何体的关键量．

(2)设计计算方法：根据组成形式，设计计算方法，特别要注意“拼接面”面积的处理，利用“切割”“补形”的方法求体积．

(3)计算求值：根据设计的计算方法求值．　 

1．如图，在多面体 ABCDEF 中，已知面 ABCD 是边长为 4 的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF 上任意一点到平面 ABCD 的距离均为 3，求该多面体的体积．

解：如图，连接 EB，EC.四棱锥 E­ABCD 的体积

V_{四棱锥 E­ABCD}＝3(1)×4²×3＝16.

因为AB＝2EF，EF∥AB，所以S_△EAB＝2S_△BEF.所以V_{三棱锥 F­EBC}

＝V_{三棱锥 C­EFB}＝2(1)V_{三棱锥 C­ABE}

＝2(1)V_{三棱锥 E­ABC}＝2(1)×2(1)V_{四棱锥 E­ABCD}＝4.　

所以多面体的体积 V＝V_{四棱锥 E­ABCD}＋V_{三棱锥 F­EBC}＝16＋4＝20.

2．如图，一个底面半径为 2 的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为 2 和 3，求该几何体的体积．

解：用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为 π×2²×5＝20π，故所求几何体的体积为 10π.

1．已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1，2，3，则该长方体的表面积为(　　)

A．22　　　　　　　　　　　 B．20

C．10   D．11

解析：选A.所求长方体的表面积S＝2×(1×2)＋2×(1×3)＋2×(2×3)＝22.

2．正三棱锥的高为3，侧棱长为2，则这个正三棱锥的体积为(　　)

A.4(27)   B.4(9)

C.4(3)   D.4(3)

解析：选D.由题意可得底面正三角形的边长为3，所以V＝3(1)×4(3)×3²×3＝4(3).故选D.

3．已知圆台的上、下底面的面积之比为9∶25，那么它的中截面截得的上、下两台体的侧面积之比是________．

解析：圆台的上、下底面半径之比为3∶5，设上、下底面半径为3x，5x，则中截面半径为4x，设上台体的母线长为l，

则下台体的母线长也为l，上台体侧面积S₁＝π(3x＋4x)l＝7πxl，下台体侧面积S₂＝π(4x＋5x)l＝9πxl，所以S₁∶S₂＝7∶9.

答案：7∶9

4.如图，三棱台ABCA₁B₁C₁中，AB∶A₁B₁＝1∶2，求三棱锥A₁ABC，三棱锥BA₁B₁C，三棱锥CA₁B₁C₁的体积之比．

解：设棱台的高为h，S_△ABC＝S，则S△A₁B₁C₁＝4S.

所以VA₁ABC＝3(1)S_△ABC·h＝3(1)Sh，

VCA₁B₁C₁＝3(1)S△A₁B₁C₁·h＝3(4)Sh.

又V_台＝3(1)h(S＋4S＋2S)＝3(7)Sh，

所以VBA₁B₁C＝V_台－VA₁ABC－VCA₁B₁C₁

＝3(7)Sh－3(Sh)－3(4Sh)＝3(2)Sh，

所以体积比为1∶2∶4.

[A　基础达标]

1．若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为(　　)

A．1∶2　　　　　　　　　　 B．1∶

C．1∶   D.∶2

解析：选C.设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，所以其母线长l＝r.所以S_侧＝πrl＝πr²，S_底＝πr²，S_底∶S_侧＝1∶.

2.如图，ABC­A′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥C­AA′B′B的体积是(　　)

A.3(1)   B.2(1)

C.3(2)   D.4(3)

解析：选C.因为V_{C­A′B′C′}

＝3(1)V_{ABC­A′B′C′}＝3(1)，

所以V_{C­AA′B′B}＝1－3(1)＝3(2).

3．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O₁，O₂，过直线O₁O₂的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为(　　)

A．12π   B．12π

C．8π   D．10π

解析：选B.设所截正方形的边长为 a，则 a²＝8，即 a＝2.所以圆柱的母线长为 2，底面圆半径 r＝，所以圆柱的表面积为 2π×2＋π()²×2＝8π＋4π＝12π.

4.如图，正方体ABCD­A₁B₁C₁D₁的棱长为1，点P是面A₁B₁C₁D₁内任意一点，则四棱锥P­ABCD的体积为(　　)

A.6(1)　　　　　　　　　　 B.3(1)

C.2(1)   D.3(2)

解析：选B.因为正方体ABCD­A₁B₁C₁D₁的棱长为1，

点P是面A₁B₁C₁D₁内任意一点，

所以点P到平面ABCD的距离d＝AA₁＝1，

S_{正方形ABCD}＝1×1＝1，

所以四棱锥P­ABCD的体积为：

V_P­ABCD＝3(1)×AA₁×S_{正方形ABCD}＝3(1)×1×1＝3(1).

故选B.

5．(2019·临川检测)一个封闭的正三棱柱容器，高为 3，内装水若干(如图甲，底面处于水平状态)，将容器放倒(如图乙，一个侧面处于水平状态)，这时水面与各棱交点 E，F，F₁，E₁ 分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为(　　)

A.2(3)   B.4(7)

C．2　　　   D.4(9)

解析：选 D．因为 E，F，F₁，E₁ 分别为所在棱的中点，所以棱柱 EFCB­E₁F₁C₁B₁ 的体积 V＝S_梯形EFCB×3＝4(3)S_△ABC×3＝4(9)S_△ABC.设甲中水面的高度为 h，则 S_△ABC×h＝4(9)S_△ABC，解得h＝4(9)，故选 D.

6．已知圆柱 OO′的母线 l＝4 cm，表面积为 42π cm²，则圆柱 OO′的底面半径 r＝______cm.

解析：圆柱 OO′的侧面积为 2πrl＝8πr(cm²)，两底面面积为 2×πr²＝2πr²(cm²)，

所以 2πr²＋8πr＝42π，

解得 r＝3 或 r＝－7(舍去)，

所以圆柱的底面半径为 3 cm.

答案：3

7．表面积为 3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆面，则该圆锥的底面直径为________．

解析：设圆锥的母线为 l，圆锥底面半径为 r，由题意可知，πrl＋πr²＝3π，且 πl＝2πr.解得 r＝1，即直径为 2.

答案：2

8．圆柱内有一个内接长方体 ABCD­A₁B₁C₁D₁，长方体的体对角线长是 10 cm，圆柱的侧面展开图为矩形，此矩形的面积是 100π cm 2，则圆柱的底面半径为______cm，高为______cm.

解析：设圆柱底面半径为 r cm，高为 h cm，如图所示，则圆柱轴截面长方形的对角线长等于它的内接长方体的体对角线长，则：

2πrh＝100π，(2）2，)

所以h＝10.(r＝5，)

即圆柱的底面半径为 5 cm，高为 10 cm.

答案：5　10

9．如图，已知正三棱锥 S­ABC 的侧面积是底面积的 2 倍，正三棱锥的高 SO＝3，求此正三棱锥的表面积．

解：如图，设正三棱锥的底面边长为 a，斜高为 h′，过点 O 作 OE⊥AB，与 AB 交于点 E，连接 SE，则 SE⊥AB，

SE＝h′.

因为 S_侧＝2S_底，

所以 3×2(1)·a·h′＝4(3)a²×2.

所以 a＝h′.

因为 SO⊥OE，

所以 SO²＋OE²＝SE².

所以 3²＋h′(3)＝h^′2.

所以 h′＝2，所以 a＝h′＝6.

所以 S_底＝4(3)a²＝4(3)×6²＝9，

S_侧＝2S_底＝18.

所以 S_表＝S_侧＋S_底＝18＋9＝27.

10．若 E，F 是三棱柱 ABC­A₁B₁C₁ 侧棱 BB₁和 CC₁ 上的点，且 B₁E ＝CF，三棱柱的体积为 m，求四棱锥 A­BEFC 的体积．

解：如图所示，

连接 AB₁，AC₁.

因为 B₁E ＝CF，

所以 梯形 BEFC 的面积等于梯形 B₁EFC₁ 的面积．

又四棱锥 A­BEFC 的高与四棱锥 A­B₁EFC₁ 的高相等，

所以 V _A­BEFC＝VA­B₁EFC₁

＝2(1)VA­BB₁C₁C.

又 VA ­A₁B₁C₁＝3(1)S△A₁B₁C₁·h，

VABC­A₁B₁C₁＝S△A₁B₁C₁·h＝m，所以

VA­A₁B₁C₁＝3(m)，

所以 VA­BB₁C₁C＝VABC­A₁B₁C₁－VA­A₁B₁C₁＝3(2)m.

所以 V_A­BEFC＝2(1)×3(2)m＝3(m)，

即四棱锥 A­BEFC 的体积是3(m).

[B　能力提升]

11．(2018·高考浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm³)是(　　)

A．2   B．4

C．6   D．8

解析：选 C．由三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何体的体积 V＝2(1)×(1＋2)×2×2＝6.故选 C.

12．(2019·高考全国卷Ⅱ)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1，则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．

解析：依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后6个面都在正方体的表面上，且该半正多面体的表面由18个正方形，8个正三角形组成，因此题中的半正多面体共有26个面．注意到该半正多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形，设题中的半正多面体的棱长为x，则2(2)x＋x＋2(2)x＝1，解得x＝－1，故题中的半正多面体的棱长为－1.

答案：26　－1

13．用一张正方形的纸把一个棱长为 1 的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是________．

解析：如图①为棱长为 1 的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展开成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图②所示，由图知正方形的边长为 2，其面积为 8.

答案：8

14．如图所示，已知三棱柱ABC­A′B′C′，侧面B′BCC′的面积是S，点A′到侧面B′BCC′的距离是a，求证：三棱柱ABC­A′B′C′的体积V＝2(1)Sa.

证明：法一：如图所示，连接A′B，A′C，这样就把三棱柱分割成了两个棱锥．

显然三棱锥A′­ABC的体积是3(1)V，而四棱锥A′­BCC′B′的体积为3(1)Sa，故有3(1)V＋3(1)Sa＝V，

所以三棱柱ABC­A′B′C′的体积V＝2(1)Sa.

法二：如图所示，将三棱柱ABC­A′B′C′补成一个四棱柱ACBD­A′C′B′D′，其中AC∥BD，AD∥BC，即ACBD为一个平行四边形，显然三棱柱ABD­A′B′D′的体积与原三棱柱ABC­A′B′C′的体积相等．