8．1　基本立体图形

第1课时　棱柱、棱锥、棱台的结构特征

 问题导学

预习教材P97－P100的内容，思考以下问题：

1．空间几何体的定义是什么？

2．空间几何体分为哪几类？

3．常见的多面体有哪些？

4．棱柱、棱锥、棱台有哪些结构特征？

1．空间几何体的定义及分类

(1)定义：如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．

(2)分类：常见的空间几何体有多面体与旋转体两类．

2．空间几何体

3.棱柱、棱锥、棱台的结构特征

续　表

■名师点拨

(1)棱柱、棱锥、棱台的关系

在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来(以三棱柱、三棱锥、三棱台为例)．

(2)各种棱柱之间的关系

①棱柱的分类

棱柱一般的直棱柱()

②常见的几种四棱柱之间的转化关系

 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)棱柱的侧面都是平行四边形．(　　)

(2)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台．　(　　)

(3)将棱台的各侧棱延长可交于一点．(　　)

答案：(1)√　(2)×　(3)√

 下面多面体中，是棱柱的有(　　)

A．1个　　　　　　　　　　 B．2个

C．3个   D．4个

解析：选D.根据棱柱的定义进行判定知，这4个都满足. 下面四个几何体中，是棱台的是(　　)

解析：选C.A项中的几何体是棱柱．B项中的几何体是棱锥；D项中的几何体的棱AA′，BB′，CC′，DD′没有交于一点，则D项中的几何体不是棱台；很明显C项中的几何体是棱台．

 在三棱锥A­BCD中，可以当作棱锥底面的三角形的个数为　(　　)

A．1   B．2

C．3   D．4

解析：选D.每个面都可作为底面，有4个．

 下列说法正确的有________．(填序号)

①棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共点；

②棱台的侧面有的是平行四边形，有的是梯形；

③棱台的侧棱所在直线均相交于同一点．

解析：棱锥是由棱柱的一个底面收缩为一个点而得到的几何体，因而其侧面均是三角形，且所有侧面都有一个公共点，故①对．棱台是棱锥被平行于底面的平面所截后，截面与底面之间的部分，因而其侧面均是梯形，且所有的侧棱延长后均相交于一点(即原棱锥的顶点)，故②错，③对．因而正确的有①③.

答案：①③

棱柱的结构特征

　下列关于棱柱的说法：

①所有的面都是平行四边形；

②每一个面都不会是三角形；

③两底面平行，并且各侧棱也平行；

④被平面截成的两部分可以都是棱柱．

其中正确说法的序号是__________．

【解析】　①错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；

②错误，棱柱的底面可以是三角形；

③正确，由棱柱的定义易知；

④正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，所以正确说法的序号是③④.

【答案】　③④

棱柱结构特征的辨析技巧

(1)扣定义：判定一个几何体是否是棱柱的关键是棱柱的定义．

①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形；②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行．

(2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除．　 

1．下列命题中正确的是(　　)

A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱

B．棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面

C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形

D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形

解析：选D.由棱柱的定义可知，选D.

2．如图所示的三棱柱ABC­A₁B₁C₁，其中E，F，G，H是三棱柱对应边上的中点，过此四点作截面EFGH，把三棱柱分成两部分，各部分形成的几何体是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由．

解：截面以上的几何体是三棱柱AEF­A₁HG，截面以下的几何体是四棱柱BEFC­B₁HGC₁.

棱锥、棱台的结构特征

　下列关于棱锥、棱台的说法：

①用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；

②棱台的侧面一定不会是平行四边形；

③棱锥的侧面只能是三角形；

④由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；

⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．

其中正确说法的序号是________．

【解析】　①错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台．

②正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形．

③正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形．

④正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥．

⑤错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．

所以正确说法的序号为②③④.

【答案】　②③④

判断棱锥、棱台形状的两种方法

(1)举反例法

结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．　 

(2)直接法

1．棱台不具有的性质是(　　)

A．两底面相似　　　　　 B．侧面都是梯形

C．侧棱长都相等   D．侧棱延长后相交于一点

解析：选C.由棱台的概念(棱台的产生过程)可知A，B，D都是棱台具有的性质，而侧棱长不一定相等．

2．下列说法中，正确的是(　　)

①棱锥的各个侧面都是三角形；

②有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥；

③四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面；

④棱锥的各侧棱长相等．

A．①②  B．①③

C．②③   D．②④

解析：选B.由棱锥的定义，知棱锥的各侧面都是三角形，故①正确；有一个面是多边形，其余各面都是三角形，如果这些三角形没有一个公共顶点，那么这个几何体就不是棱锥，故②错；四面体就是由四个三角形所围成的封闭几何体，因此以四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故③正确；棱锥的侧棱长可以相等，也可以不相等，故④错．

空间几何体的平面展开图

　(1)水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的平面展开图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图中的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是(　　)

A．1   B．9

C．快   D．乐

(2)如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？

【解】　(1)选B.由题意，将正方体的展开图还原成正方体，“1”与“乐”相对，“2”与“9”相对，“0”与“快”相对，所以下面是“9”．

(2)题图①中，有5个平行四边形，而且还有两个全等的五边形，符合棱柱的特点；题图②中，有5个三角形，且具有共同的顶点，还有一个五边形，符合棱锥的特点；题图③中，有3个梯形，且其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三角形，符合棱台的特点，把侧面展开图还原为原几何体，如图所示：

所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．

多面体展开图问题的解题策略

(1)绘制展开图：绘制多面体的平面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型．在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其平面展开图．

(2)由展开图复原几何体：若是给出多面体的平面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推，同一个几何体的平面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个平面展开图．　 

1.某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的平面展开图应该为(　　)

解析：选A.其展开图是沿盒子的棱剪开，无论从哪条棱剪开，剪开的相邻面在展开图中可以不相邻，但未剪开的相邻面在展开图中一定相邻．相同的图案是盒子上相对的面，展开后不能相邻．

2．根据如图所示的几何体的表面展开图，画出立体图形．

解：如图是以四边形ABCD为底面，P为顶点的四棱锥．其图形如图所示．

1．下面的几何体中是棱柱的有(　　)

A．3个　　　B．4个　　　C．5个　　　D．6个

解析：选C.棱柱有三个特征：(1)有两个面相互平行．(2)其余各面是四边形．(3)侧棱相互平行．本题所给几何体中⑥⑦不符合棱柱的三个特征，而①②③④⑤符合，故选C.

2．下面图形中，为棱锥的是(　　)

A．①③  B．③④  C．①②④  D．①②

解析：选C.根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②是棱锥，③不是棱锥，④是棱锥．故选C.

3．有一个多面体，共有四个面围成，每一个面都是三角形，则这个几何体为(　　)

A．四棱柱  B．四棱锥  C．三棱柱  D．三棱锥

解析：选D.根据棱锥的定义可知该几何体是三棱锥．

4．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为__________cm.

解析：因为棱柱有10个顶点，所以棱柱为五棱柱，共有五条侧棱，所以侧棱长为5(60)＝12(cm)．

答案：12

5．画一个三棱台，再把它分成：

(1)一个三棱柱和另一个多面体．

(2)三个三棱锥，并用字母表示．

解：画三棱台一定要利用三棱锥．

(1)如图①所示，三棱柱是棱柱A′B′C′­AB″C″，另一个多面体是B′C′C″B″BC.

(2)如图②所示，三个三棱锥分别是A′­ABC，B′­A′BC，C′­A′B′C.

[A　基础达标]

1．下列说法正确的是(　　)

A．棱柱的底面一定是平行四边形

B．棱锥的底面一定是三角形

C．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥

D．棱柱被平面分成的两部分可能都是棱柱

解析：选D.棱柱和棱锥的底面可以是任意多边形，故选项A、B均不正确；可沿棱锥的侧棱将其分割成两个棱锥，故C错误；用平行于棱柱底面的平面可将棱柱分割成两个棱柱．

2．具备下列条件的多面体是棱台的是(　　)

A．两底面是相似多边形的多面体

B．侧面是梯形的多面体

C．两底面平行的多面体

D．两底面平行，侧棱延长后交于一点的多面体

解析：选D.由棱台的定义可知，棱台的两底面平行，侧棱延长后交于一点．

3．如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是(　　)

A．A₁B₁＝2，AB＝3，B₁C₁＝3，BC＝4

B．A₁B₁＝1，AB＝2，B₁C₁＝1.5，BC＝3，A₁C₁＝2，AC＝3

C．A₁B₁＝1，AB＝2，B₁C₁＝1.5，BC＝3，A₁C₁＝2，AC＝4

D．AB＝A₁B₁，BC＝B₁C₁，CA＝C₁A₁

解析：选C.根据棱台是由棱锥截成的进行判断．

选项A中AB(A1B1)≠BC(B1C1)，故A不正确；选项B中BC(B1C1)≠AC(A1C1)，故B不正确；选项C中AB(A1B1)＝BC(B1C1)＝AC(A1C1)，故C正确；选项D中满足这个条件的可能是一个三棱柱，不是三棱台．故选C.

4．一个棱锥的各棱长都相等，那么这个棱锥一定不是(　　)

A．三棱锥　　　　　　　　 B．四棱锥

C．五棱锥   D．六棱锥

解析：选D.由题意可知，每个侧面均为等边三角形，每个侧面的顶角均为60°，如果是六棱锥，因为6×60°＝360°，所以顶点会在底面上，因此不是六棱锥．

5．下列图形中，不能折成三棱柱的是(　　)

解析：选C.C中，两个底面均在上面，因此不能折成三棱柱，其余均能折成三棱柱．

6．四棱柱有________条侧棱，________个顶点．

解析：四棱柱有4条侧棱，8个顶点(可以结合正方体观察求得)．

答案：4　8

7．一个棱台至少有________个面，面数最少的棱台有________个顶点，有________条棱．

解析：面数最少的棱台是三棱台，共有5个面，6个顶点，9条棱．

答案：5　6　9

8．在下面的四个平面图形中，是侧棱都相等的四面体的展开图的为__________．(填序号)

解析：由于③④中的图组不成四面体，只有①②可以．

答案：①②

9．根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体的名称：

(1)由6个平行四边形围成的几何体；

(2)由7个面围成的几何体，其中一个面是六边形，其余6个面都是有一个公共顶点的三角形；

(3)由5个面围成的几何体，其中上、下两个面是相似三角形，其余3个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点．

解：(1)这是一个上、下底面是平行四边形，4个侧面也是平行四边形的四棱柱．

(2)这是一个六棱锥．

(3)这是一个三棱台．

10．画出如图所示的几何体的表面展开图．

解：表面展开图如图所示：(答案不唯一)

[B　能力提升]

11．五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱共有对角线(　　)

A．20条   B．15条

C．12条   D．10条

解析：选D.如图，在五棱柱ABCDEA₁B₁C₁D₁E₁中，从顶点A出发的对角线有两条：AC₁，AD₁，同理从B，C，D，E点出发的对角线均有两条，共有2×5＝10(条)．　

12．一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面(　　)

A．至多有一个是直角三角形

B．至多有两个是直角三角形

C．可能都是直角三角形

D．必然都是非直角三角形

解析：选C.注意到答案特征是研究侧面最多有几个直角三角形，这是一道开放性试题，需要研究在什么情况下侧面的直角三角形最多．在如图所示的长方体中，三棱锥A­A₁C₁D₁的三个侧面都是直角三角形．

13．长方体ABCD­A₁B₁C₁D₁的长、宽、高分别为3，2，1，从A到C₁沿长方体的表面的最短距离为________．

解析：结合长方体的三种展开图不难求得AC₁的长分别是：3，2，，显然最小值是3.

答案：3

14．如图，已知长方体ABCD­A₁B₁C₁D₁.

(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？

(2)用平面BCEF把这个长方体分成两部分，各部分几何体的形状是什么？

解：(1)是棱柱．是四棱柱．因为长方体中相对的两个面是平行的，其余的每个面都是矩形(四边形)，且每相邻的两个矩形的公共边都平行，符合棱柱的结构特征，所以是棱柱．

(2)各部分几何体都是棱柱，分别为棱柱BB₁F­CC₁E和棱柱ABFA₁­DCED₁.

[C　拓展探究]

15．如图，在一个长方体的容器中装有少量水，现在将容器绕着其底部的一条棱倾斜，在倾斜的过程中：

(1)水面的形状不断变化，可能是矩形，也可能变成不是矩形的平行四边形，对吗？

(2)水的形状也不断变化，可以是棱柱，也可能变为棱台或棱锥，对吗？

(3)如果倾斜时，不是绕着底部的一条棱，而是绕着其底部的一个顶点，试着讨论水面和水的形状．

解：(1)不对，水面的形状就是用一个与棱(倾斜时固定不动的棱)平行的平面截长方体时截面的形状，因而是矩形，不可能是其他非矩形的平行四边形．

(2)不对，水的形状就是用与棱(将长方体倾斜时固定不动的棱)平行的平面将长方体截去一部分后，剩余部分的几何体是棱柱，水比较少时，是三棱柱，水多时，可能是四棱柱；但不可能是棱台或棱锥．

(3)用任意一个平面去截长方体，其截面形状可以是三角形，四边形，五边形，六边形，因而水面的形状可以是三角形，四边形，五边形，六边形；水的形状可以是棱锥，棱柱，但不可能是棱台．