6．4.3　余弦定理、正弦定理

第1课时　余弦定理

 问题导学

预习教材P42－P44的内容，思考以下问题：

1．余弦定理的内容是什么？

2．余弦定理有哪些推论？

1．余弦定理

■名师点拨

余弦定理的理解

(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立.

(2)结构特征：“平方”“夹角”“余弦”．

(3)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系．

2．余弦定理的推论

cos A＝2bc(b2＋c2－a2)；

cos B＝2ac(a2＋c2－b2)；

cos C＝2ab(a2＋b2－c2)．

■名师点拨 

余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题．用余弦定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角．

3．三角形的元素与解三角形

(1)三角形的元素

三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．

(2)解三角形

已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．

 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)在三角形中，勾股定理是余弦定理针对直角三角形的一个特例．(　　)

(2)余弦定理只适用于已知三边和已知两边及夹角的情况．(　　)

(3)已知三角形的三边求三个内角时，解是唯一的．(　　)

(4)在△ABC中，若b²＋c²＞a²，则∠A为锐角．(　　)

(5)在△ABC中，若b²＋c²＜a²，则△ABC为钝角三角形．(　　)

答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√

 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝4，b＝5，c＝，则角C等于(　　)

A．120°　　　　　　　　　 B．90°

C．60°   D．45°

解析：选A.由余弦定理，得cos C＝2ab(a2＋b2－c2)＝2×4×5(61）2)＝－2(1)，所以C＝120°，故选A.

 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a²＋c²－b²＝ac，则角B等于(　　)

A.6(π)　　   B.3(π)

C.6(π)或6(5π)   D.3(π)或3(2π)

解析：选A.由余弦定理知a²＋c²－b²＝2accos B，因为a²＋c²－b²＝ac，所以cos B＝2(3)，故B＝6(π).

 已知在△ABC中，a＝1，b＝2，C＝60°，则c＝________．

解析：由余弦定理，得c²＝1²＋2²－2×1×2×cos 60°＝3，所以c＝.

答案：

已知两边及一角解三角形

　(1)(2018·高考全国卷Ⅱ)在△ABC中，cos2(C)＝5(5)，BC＝1，AC＝5，则AB＝(　　)

A．4　　　　　　　　　 B.

C.   D．2

(2)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝，c＝2，cos A＝3(2)，则b＝(　　)

A.　　   B.

C．2   D．3

【解析】　(1)因为cos C＝2cos² 2(C)－1＝2×5(1)－1＝－5(3)，所以由余弦定理，得AB²＝AC²＋BC²－2AC·BCcos C＝25＋1－2×5×1×5(3)＝32，所以AB＝4，故选A.

(2)由余弦定理得5＝2²＋b²－2×2bcos A，

因为cos A＝3(2)，所以3b²－8b－3＝0，

所以b＝3舍去(1).故选D.

【答案】　(1)A　(2)D

[变条件]将本例(2)中的条件“a＝，c＝2，cos A＝3(2)”改为“a＝2，c＝2，cos A＝2(3)”，求b为何值？

解：由余弦定理得：

a²＝b²＋c²－2bccos A，

所以2²＝b²＋(2)²－2×b×2×2(3)，

即b²－6b＋8＝0，解得b＝2或b＝4.

解决“已知两边及一角”解三角问题的步骤

(1)用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长．

(2)再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角．　 

　在△ABC中，a＝2，c＝＋，B＝45°，解这个三角形．

解：根据余弦定理得，

b²＝a²＋c²－2accos B＝(2)²＋(＋)²－2×2×(＋)×cos 45°＝8，

所以b＝2.

又因为cos A＝2bc(b2＋c2－a2)＝）(3）2)＝2(1)，

所以A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°.

已知三边(三边关系)解三角形

　(1)在△ABC中，已知a＝3，b＝5，c＝，则最大角与最小角的和为(　　)

A．90°   B．120°

C．135°　   D．150°

(2)在△ABC中，若(a＋c)(a－c)＝b(b－c)，则A等于(　　)

A．90°　   B．60°

C．120°   D．150°

【解析】　(1)在△ABC中，因为a＝3，b＝5，c＝，

所以最大角为B，最小角为A，

所以cos C＝2ab(a2＋b2－c2)＝2×3×5(9＋25－19)＝2(1)，所以C＝60°，所以A＋B＝120°，所以△ABC中的最大角与最小角的和为120°.故选B.

(2)因为(a＋c)(a－c)＝b(b－c)，所以b²＋c²－a²＝bc，所以cos A＝2bc(b2＋c2－a2)＝2(1).因为A∈(0°，180°)，所以A＝60°.

【答案】　(1)B　(2)B

已知三角形的三边解三角形的方法

先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理的推论求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．

[注意]　若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边求解．　 

1．(2019·福建师大附中期末考试)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a²＝b²－c²＋ac，则角B的大小是(　　)

A．45°   B．60°

C．90°   D．135°

解析：选A.由已知得a²＋c²－b²＝ac，所以cos B＝2ac(a2＋c2－b2)＝2ac(2ac)＝2(2).又0°＜B＜180°，所以B＝45°.

2．在△ABC中，若a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，求△ABC的最大内角的余弦值．

解：因为a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，

不妨设a＝2k，b＝k，c＝(＋1)k，

显然a＜b＜c.

所以△ABC的最大内角为C，

则cos C＝2ab(a2＋b2－c2)＝k2(3＋1）2k2)

＝6(3＋1）2)＝6(3)＝4(2).

判断三角形的形状

　在△ABC中，若b²sin²C＋c²sin²B＝2bccos Bcos C，试判断△ABC的形状．

【解】　将已知等式变形为

b²(1－cos²C)＋c²(1－cos²B)＝2bccos Bcos C.

由余弦定理并整理，得

b²＋c²－b²2ab(a2＋b2－c2)－c²2ac(a2＋c2－b2)

＝2bc×2ac(a2＋c2－b2)×2ab(a2＋b2－c2)，

所以b²＋c²＝4a2([（a2＋b2－c2）＋（a2＋c2－b2）]2)＝4a2(4a4)＝a².

所以A＝90°.所以△ABC是直角三角形．

(1)利用余弦定理判断三角形形状的两种途径

①化边的关系：将条件中的角的关系，利用余弦定理化为边的关系，再变形条件判断．

②化角的关系：将条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换得出关系进行判断．

(2)判断三角形时经常用到以下结论

①△ABC为直角三角形⇔a²＝b²＋c²或c²＝a²＋b²或b²＝a²＋c².

②△ABC为锐角三角形⇔a²＋b²＞c²，且b²＋c²＞a²，且c²＋a²＞b².

③△ABC为钝角三角形⇔a²＋b²＜c²或b²＋c²＜a²或c²＋a²＜b².

④若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝2(π).　 

1．在△ABC中，A＝60°，a²＝bc，则△ABC一定是(　　)

A．锐角三角形　　   B．钝角三角形

C．直角三角形　   D．等边三角形

解析：选D.在△ABC中，因为A＝60°，a²＝bc，

所以由余弦定理可得a²＝b²＋c²－2bccos A＝b²＋c²－bc，

所以bc＝b²＋c²－bc，即(b－c)²＝0，

所以b＝c，结合A＝60°可得△ABC一定是等边三角形．故选D.

2．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状是(　　)

A．锐角三角形　   B．直角三角形

C．钝角三角形　   D．不确定

解析：选B.因为bcos C＋ccos B＝asin A，

所以由余弦定理得b·2ab(a2＋b2－c2)＋c·2ac(a2＋c2－b2)＝asin A，

整理，得a＝asin A，所以sin A＝1.

又A∈(0，π)，所以A＝2(π).

故△ABC为直角三角形．

1．在△ABC中，已知a＝5，b＝7，c＝8，则A＋C＝(　　)

A．90°　　　　　　　　　　 B．120°

C．135°   D．150°

解析：选B.cos B＝2ac(a2＋c2－b2)＝2×5×8(25＋64－49)＝2(1).

所以B＝60°，所以A＋C＝120°.

2．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，则角A等于(　　)

A．30°   B．60°

C．120°   D．150°

解析：选B.因为(b＋c)²－a²＝b²＋c²＋2bc－a²＝3bc，

所以b²＋c²－a²＝bc，

所以cos A＝2bc(b2＋c2－a2)＝2(1)，所以A＝60°.

3．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)²－c²＝4，且C＝60°，则ab＝________．

解析：因为C＝60°，所以c²＝a²＋b²－2abcos 60°，

即c²＝a²＋b²－ab.①

又因为(a＋b)²－c²＝4，

所以c²＝a²＋b²＋2ab－4.②

由①②知－ab＝2ab－4，所以ab＝3(4).

答案：3(4)

4．在△ABC中，acos A＋bcos B＝ccos C，试判断△ABC的形状．

解：由余弦定理知cos A＝2bc(b2＋c2－a2)，cos B＝2ca(c2＋a2－b2)，cos C＝2ab(a2＋b2－c2)，代入已知条件得a·2bc(b2＋c2－a2)＋b·2ca(c2＋a2－b2)＋c·2ab(c2－a2－b2)＝0，

通分得a²(b²＋c²－a²)＋b²(a²＋c²－b²)＋c²(c²－a²－b²)＝0，

展开整理得(a²－b²)²＝c⁴.

所以a²－b²＝±c²，即a²＝b²＋c²或b²＝a²＋c².

根据勾股定理知△ABC是直角三角形．

[A　基础达标]

1．(2019·合肥调研)在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，C＝60°，a＝4b，c＝，则b＝(　　)

A．1　　　　　　　　　　　 B．2

C．3   D.

解析：选A.由余弦定理知()²＝a²＋b²－2abcos 60°，因为a＝4b，所以13＝16b²＋b²－2×4b×b×2(1)，解得b＝1，故选A.

2．已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若23cos²A＋cos 2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝(　　)

A．10　　   B．9

C．8　   D．5

解析：选D.由23cos²A＋cos 2A＝0得23cos²A＋2cos²A－1＝0，解得cos A＝±5(1).

因为A是锐角，所以cos A＝5(1).

又因为a²＝b²＋c²－2bccos A，所以49＝b²＋36－2×b×6×5(1).

解得b＝5或b＝－5(13).又因为b＞0，所以b＝5.

3．在△ABC中，若a＝8，b＝7，cos C＝14(13)，则最大角的余弦值是(　　)

A．－5(1)   B．－6(1)

C．－7(1)   D．－8(1)

解析：选C.由余弦定理，得

c²＝a²＋b²－2abcos C＝8²＋7²－2×8×7×14(13)＝9，

所以c＝3，故a最大，

所以最大角的余弦值为

cos A＝2bc(b2＋c2－a2)＝2×7×3(72＋32－82)＝－7(1).

4．(2019·江苏苏州部分重点中学高三(上)期中考试)在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则AC边上的高为(　　)

A.2(2)　　 B.2(3)

C.2(3)　   D．3

解析：选B.由BC²＝AB²＋AC²－2AB·ACcos A，可得13＝9＋16－2×3×4×cos A，得cos A ＝2(1).因为A为△ABC的内角，所以A＝3(π)，

所以AC边上的高为AB·sin A＝3×2(3)＝2(3).

5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos²2(A)＝2c(b＋c)，则△ABC是(　　)

A．直角三角形　   B．锐角三角形

C．等边三角形　   D．等腰直角三角形

解析：选A.在△ABC中，因为cos²2(A)＝2c(b＋c)，所以2(1＋cos A)＝2c(b)＋2(1)，

所以cos A＝c(b).由余弦定理，知2bc(b2＋c2－a2)＝c(b)，所以b²＋c²－a²＝2b²，

即a²＋b²＝c²，所以△ABC是直角三角形．

6．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足b²＝ac，且c＝2a，则cos B＝________．

解析：因为b²＝ac，且c＝2a，所以cos B＝2ac(a2＋c2－b2)＝2a·2a(a2＋4a2－2a2)＝4(3).

答案：4(3)

7．在△ABC中，边a，b的长是方程x²－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则c＝________．

解析：由题意，得a＋b＝5，ab＝2.所以c²＝a²＋b²－2abcos C＝a²＋b²－ab＝(a＋b)²－3ab＝5²－3×2＝19，所以c＝.

答案：

8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且a＝3，b＝4，c＝6，则bccos A＋accos B＋abcos C的值是________．

解析：bccos A＋accos B＋abcos C＝2(b2＋c2－a2)＋2(a2＋c2－b2)＋2(a2＋b2－c2)＝2(a2＋b2＋c2).

因为a＝3，b＝4，c＝6，所以bccos A＋accos B＋abcos C＝2(1)×(3²＋4²＋6²)＝2(61).

答案：2(61)

9．在△ABC中，A＋C＝2B，a＋c＝8，ac＝15，求b.

解：在△ABC中，因为A＋C＝2B，A＋B＋C＝180°，所以B＝60°.

由余弦定理，

得b²＝a²＋c²－2accos B＝(a＋c)²－2ac－2accos B＝8²－2×15－2×15×2(1)＝19.

所以b＝.

10．在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，试求AC边上的中线长．

解：由余弦定理的推论得：

cos A＝2·AB·AC(AB2＋AC2－BC2)＝2×9×8(92＋82－72)＝3(2)，

设所求的中线长为x，由余弦定理知：

x²＝2(AC)＋AB²－2·2(AC)·ABcos A＝4²＋9²－2×4×9×3(2)＝49，

则x＝7.

所以所求中线长为7.

[B　能力提升]

11．在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，则→(AB)·→(BC)的值为(　　)

A．79   B．69

C．5   D．－5

解析：选D.由余弦定理得：

cos∠ABC＝2AB·BC(AB2＋BC2－AC2)＝2×5×7(52＋72－82)＝7(1).

因为向量→(AB)与→(BC)的夹角为180°－∠ABC，

所以→(AB)·→(BC)＝|→(AB)|·|→(BC)|cos(180°－∠ABC)＝5×7×7(1)＝－5.

12．已知锐角三角形的边长分别为1，3，a，则a的取值范围是(　　)

A．(8，10)　   B．(2，)

C．(2，10)　　   D．(，8)

解析：选B.只需让边长为3和a的边所对的角均为锐角即可．

故1＋a＞3，(1＋3＞a，)解得2＜a＜.

13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C＝120°，c＝a，则a，b的大小关系为(　　)

A．a>b   B．a<b

C．a＝b   D．不能确定

解析：选A.在△ABC中，c²＝a²＋b²－2abcos 120°＝a²＋b²＋ab.因为c＝a，所以2a²＝a²＋b²＋ab，所以a²－b²＝ab>0，所以a²>b²，所以a>b.

14．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a－c)²＝b²－4(3)ac.

(1)求cos B的值；

(2)若b＝，且a＋c＝2b，求ac的值．

解：(1)由(a－c)²＝b²－4(3)ac，可得a²＋c²－b²＝4(5)ac.

所以2ac(a2＋c2－b2)＝8(5)，即cos B＝8(5).

(2)因为b＝，cos B＝8(5)，

由余弦定理，得b²＝13＝a²＋c²－4(5)ac＝(a＋c)²－4(13)ac，

又a＋c＝2b＝2，

所以13＝52－4(13)ac，解得ac＝12.

[C　拓展探究]

15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos C＋(cos A－sin A)cos B＝0.

(1)求角B的大小；

(2)若a＋c＝1，求b的取值范围．

解：(1)由已知得－cos(A＋B)＋cos Acos B－sin A·cos B＝0，即有sin Asin B－sin Acos B＝0.①

因为sin A≠0，所以sin B－ cos B＝0.又cos B≠0，

所以tan B＝.又0<B<π，所以B＝3(π).

(2)由余弦定理，有b²＝a²＋c²－2accos B.

因为a＋c＝1，cos B＝2(1)，

有b²＝32(1)＋4(1).②

又0<a<1，

于是有4(1)≤b²<1，

即有2(1)≤b<1.