6．4　平面向量的应用

6．4.1　平面几何中的向量方法

6．4.2　向量在物理中的应用举例

 问题导学

预习教材P38－P41的内容，思考以下问题：

1．利用向量可以解决哪些常见的几何问题？

2．如何用向量方法解决物理问题？

1．用向量方法解决平面几何问题的“三个步骤”

2．向量在物理学中的应用

(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的减法和加法相似，可以用向量的知识来解决．

(2)物理学中的功是一个标量，即为力F与位移s的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cos θ(θ为F与s的夹角)．

 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)求力F₁和F₂的合力可按照向量加法的平行四边形法则．　(　　)

(2)若△ABC为直角三角形，则有→(AB)·→(BC)＝0.(　　)

(3)若向量→(AB)∥→(CD)，则AB∥CD.(　　)

答案：(1)√　(2)×　(3)×

 若向量→(OF1)＝(2，2)，→(OF2)＝(－2，3)分别表示两个力F₁，F₂，则|F₁＋F₂|为(　　)

A．(0，5)　　　　　　　　 B．(4，－1)

C．2   D．5

解析：选D.F₁＋F₂＝(2，2)＋(－2，3)＝(0，5)，所以|F₁＋F₂|＝5.

 力F＝(－1，－2)作用于质点P，使P产生的位移为s＝(3，4)，则力F对质点P做的功是________．

解析：因为W＝F·s＝(－1，－2)·(3，4)＝－11，则力F对质点P做的功是－11.

答案：－11

 若→(AB)＝3e，→(DC)＝5e，且|→(AD)|＝|→(BC)|，则四边形ABCD的形状为________．

解析：由→(AB)＝3e，→(DC)＝5e，得→(AB)∥→(DC)，→(AB)≠→(DC)，又因为ABCD为四边形，所以AB∥DC，AB≠DC.

又|→(AD)|＝|→(BC)|，得AD＝BC，

所以四边形ABCD为等腰梯形．

答案：等腰梯形

向量在几何中的应用

角度一　平面几何中的垂直问题

　如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.

证明：法一：设→(AD)＝a，→(AB)＝b，

则|a|＝|b|，a·b＝0，

又→(DE)＝→(DA)＋→(AE)＝－a＋2(1)b，→(AF)＝→(AB)＋→(BF)＝b＋2(1)a，

所以→(AF)·→(DE)＝a(1)·b(1)＝－2(1)a²－4(3)a·b＋2(1)b²＝－2(1)|a|²＋2(1)|b|²＝0.

故→(AF)⊥→(DE)，即AF⊥DE.

法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)，→(AF)＝(2，1)，→(DE)＝(1，－2)．

因为→(AF)·→(DE)＝(2，1)·(1，－2)＝2－2＝0，

所以→(AF)⊥→(DE)，即AF⊥DE.

角度二　平面几何中的平行(或共线)问题

　如图，点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且ED(CE)＝FB(AF)＝2(1).求证：点E，O，F在同一直线上．

证明：设→(AB)＝m，→(AD)＝n，

由ED(CE)＝FB(AF)＝2(1)，知E，F分别是CD，AB的三等分点，

所以→(FO)＝→(FA)＋→(AO)＝3(1)→(BA)＋2(1)→(AC)

＝－3(1)m＋2(1)(m＋n)＝6(1)m＋2(1)n，

→(OE)＝→(OC)＋→(CE)＝2(1)→(AC)＋3(1)→(CD)

＝2(1)(m＋n)－3(1)m＝6(1)m＋2(1)n.

所以→(FO)＝→(OE).

又O为→(FO)和→(OE)的公共点，故点E，O，F在同一直线上．

角度三　平面几何中的长度问题

　如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．

解：设→(AD)＝a，→(AB)＝b，则→(BD)＝a－b，→(AC)＝a＋b，

而|→(BD)|＝|a－b|＝＝＝＝2，

所以5－2a·b＝4，所以a·b＝2(1)，又|→(AC)|²＝|a＋b|²＝a²＋2a·b＋b²＝1＋4＋2a·b＝6，所以|→(AC)|＝，即AC＝.

用向量方法解决平面几何问题的步骤

　已知A，B，C，D四点的坐标分别为(1，0)，(4，3)，(2，4)，(0，2)，则此四边形为(　　)

A．梯形　　　　　　　　 B．菱形

C．矩形   D．正方形

解析：选A.→(AB)＝(3，3)，→(CD)＝(－2，－2)，所以→(AB)＝－2(3)→(CD)，→(AB)与→(CD)共线，但|→(AB)|≠|→(CD)|，故此四边形为梯形．

向量在物理中的应用

　(1)在长江南岸某渡口处，江水以12.5 km/h的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？

(2)已知两恒力F₁＝(3，4)，F₂＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20，15)移动到点B(7，0)，求F₁，F₂分别对质点所做的功．

【解】　(1)如图，设→(AB)表示水流的速度，→(AD)表示渡船的速度，→(AC)表示渡船实际垂直过江的速度．

因为→(AB)＋→(AD)＝→(AC)，所以四边形ABCD为平行四边形．

在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，|→(DC)|＝|→(AB)|＝12.5.

|→(AD)|＝25，所以∠CAD＝30°，即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°.

(2)设物体在力F作用下的位移为s，则所做的功为W＝F·s.

因为→(AB)＝(7，0)－(20，15)＝(－13，－15)．

所以W₁＝F₁·→(AB)＝(3，4)·(－13，－15)

＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(焦)，

W₂＝F₂·→(AB)＝(6，－5)·(－13，－15)

＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(焦)．

用向量方法解决物理问题的“三步曲”

　已知两个力F₁，F₂的夹角为90°，它们的合力大小为10 N，合力与F₁的夹角为60°，那么F₁的大小为(　　)

A．5 N　　　　　　　 B．5 N

C．10 N   D．5 N

解析：选B.画出图形，如图，由题意|F₁＋F₂|＝10 N，所以|F₁|＝|F₁＋F₂|cos 60°＝5 N，故选B.

1．河水的流速为2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为(　　)

A．10 m/s　　　　　　　 B．2 m/s

C．4 m/s   D．12 m/s

解析：选B.由题意知|v_水|＝2 m/s，|v_船|＝10 m/s，作出示意图如图．

所以小船在静水中的速度大小

|v|＝＝2(m/s)．

2．已知三个力f₁＝(－2，－1)，f₂＝(－3，2)，f₃＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f₄，则f₄＝(　　)

A．(－1，－2)   B．(1，－2)

C．(－1，2)   D．(1，2)

解析：选D.由物理知识知f₁＋f₂＋f₃＋f₄＝0，故f₄＝－(f₁＋f₂＋f₃)＝(1，2)．

3．设P，Q分别是梯形ABCD的对角线AC与BD的中点，AB∥DC，试用向量证明：PQ∥AB.

证明：设→(DC)＝λ→(AB)(λ＞0且λ≠1)，因为→(PQ)＝→(AQ)－→(AP)＝→(AB)＋→(BQ)－→(AP)＝→(AB)＋2(1)(→(BD)－→(AC))

＝→(AB)＋2(1)[(→(AD)－→(AB))－(→(AD)＋→(DC))]

＝→(AB)＋2(1)(→(CD)－→(AB))

＝2(1)(→(CD)＋→(AB))＝2(1)(－λ＋1)→(AB)，

所以→(PQ)∥→(AB)，又P，Q，A，B四点不共线，所以PQ∥AB.

[A　基础达标]

1．已知平面内四边形ABCD和点O，若→(OA)＝a，→(OB)＝b，→(OC)＝c，→(OD)＝d，且a＋c＝b＋d，则四边形ABCD为(　　)

A．菱形　　　　　　　　　 B．梯形

C．矩形   D．平行四边形

解析：选D.由题意知a－b＝d－c，所以→(BA)＝→(CD)，所以四边形ABCD为平行四边形．故选D.

2．如果一架飞机先向东飞行200 km，再向南飞行300 km，设飞机飞行的路程为s km，位移为a，则(　　)

A．s>|a|

B．s<|a|

C．s＝|a|

D．s与|a|不能比较大小

解析：选A.物理量中的路程是数量，位移是向量，从而s＝500，由位移的合成易得|a|<500，故s>|a|.

3．一质点受到平面上的三个力F₁，F₂，F₃的作用而处于平衡状态．已知F₁与F₂的夹角为60°，且F₁，F₂的大小分别为2 N和4 N，则F₃的大小为(　　)

A．6 N   B．2 N

C．2 N   D．2 N

解析：选D.由向量的平行四边形法则及力的平衡，得|F₃|²＝|－F₁－F₂|²＝|F₁|²＋|F₂|²＋2|F₁|·|F₂|·cos 60°＝2²＋4²＋2×2×4×2(1)＝28，所以|F₃|＝2 N.

4．在△ABC中，AB＝3，AC边上的中线BD＝，→(AC)·→(AB)＝5，则AC的长为(　　)

A．1   B．2

C．3   D．4

解析：选B.因为→(BD)＝→(AD)－→(AB)＝2(1)→(AC)－→(AB)，

所以→(BD)²＝→(AB)＝4(1)→(AC)²－→(AC)·→(AB)＋→(AB)²，

即4(1)→(AC)²＝1，所以|→(AC)|＝2，即AC＝2.

5．在△ABC中，有下列四个命题：

①→(AB)－→(AC)＝→(BC)；

②→(AB)＋→(BC)＋→(CA)＝0；

③若(→(AB)＋→(AC))·(→(AB)－→(AC))＝0，则△ABC为等腰三角形；

④若→(AC)·→(AB)>0，则△ABC为锐角三角形．

其中正确的命题有(　　)

A．①②   B．①④

C．②③   D．②③④

解析：选C.因为→(AB)－→(AC)＝→(CB)＝－→(BC)≠→(BC)，所以①错误.→(AB)＋→(BC)＋→(CA)＝→(AC)＋→(CA)＝→(AC)－→(AC)＝0，所以②正确．由(→(AB)＋→(AC))·(→(AB)－→(AC))＝→(AB)²－→(AC)²＝0，得|→(AB)|＝|→(AC)|，所以△ABC为等腰三角形，③正确.→(AC)·→(AB)>0⇒cos A>0，所以A为锐角，但不能确定B，C的大小，所以不能判定△ABC是否为锐角三角形，所以④错误．故选C.

6．用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10 N，则每根绳子的拉力大小为______N.

解析：如图，由题意，得∠AOC＝∠COB＝60°，|→(OC)|＝10，

则|→(OA)|＝|→(OB)|＝10，即每根绳子的拉力大小为10 N.

答案：10

7．点P在平面上做匀速直线运动，速度v＝(4，－3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位)．设开始时点P₀的坐标为(－10，10)，则5秒后点P的坐标为________．　

解析：由题意知，→(P0P)＝5v＝(20，－15)，

设点P的坐标为(x，y)，则y－10＝－15，(x＋10＝20，)

解得点P的坐标为(10，－5)．

答案：(10，－5)

8．在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1.边DC上的动点P(包含点D，C)与CB延长线上的动点Q(包含点B)满足|→(DP)|＝|→(BQ)|，则→(PA)·→(PQ)的最小值为________．

解析：以点A为坐标原点，分别以AB，AD所在直线为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，

设P(x，1)，Q(2，y)，由题意知0≤x≤2，－2≤y≤0.

因为|→(DP)|＝|→(BQ)|，所以|x|＝|y|，所以x＝－y.

因为→(PA)＝(－x，－1)，→(PQ)＝(2－x，y－1)，

所以→(PA)·→(PQ)＝－x(2－x)－(y－1)

＝x²－2x－y＋1

＝x²－x＋1

＝2(1)＋4(3)，

所以当x＝2(1)时，→(PA)·→(PQ)取得最小值，为4(3).

答案：4(3)

9．已知△ABC是直角三角形，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上的一点，且AE＝2EB.求证：AD⊥CE.

证明：以C为原点，→(CA)方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系．

设AC＝a，则A(a，0)，B(0，a)，

D2(a)，C(0，0)，Ea(2).

因为→(AD)＝2(a)，→(CE)＝a(2).

所以→(AD)·→(CE)＝－a·3(1)a＋2(a)·3(2)a＝0，所以→(AD)⊥→(CE)，即AD⊥CE.

10．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC上，且BD＝2(1)DC.求：

(1)AD的长；

(2)∠DAC的大小．

【解】　(1)设→(AB)＝a，→(AC)＝b，

则→(AD)＝→(AB)＋→(BD)＝→(AB)＋3(1)→(BC)＝→(AB)＋3(1)(→(AC)－→(AB))

＝3(2)→(AB)＋3(1)→(AC)＝3(2)a＋3(1)b.

所以|→(AD)|²＝→(AD)²＝b(1)＝9(4)a²＋2·9(2)a·b＋9(1)b²＝9(4)×9＋2×9(2)×3×3×cos 120°＋9(1)×9＝3.

故AD＝.

(2)设∠DAC＝θ，则θ为向量→(AD)与→(AC)的夹角．

因为cos θ＝|(AC)＝×3(·b)＝3(a·b)＝3(×3×3×cos 120°)＝0，

所以θ＝90°，即∠DAC＝90°.

[B　能力提升]

11．在▱ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点，若→(AC)·→(BE)＝1，则AB的长为(　　)

A．1   B.2(1)

C.3(1)   D.2(3)

解析：选B.设AB的长为a(a>0)，

因为→(AC)＝→(AB)＋→(AD)，→(BE)＝→(BC)＋→(CE)＝→(AD)－2(1)→(AB)，

所以→(AC)·→(BE)＝(→(AB)＋→(AD))·(→(AD)－2(1)→(AB))＝2(1)→(AB)·→(AD)－2(1)→(AB)²＋→(AD)²＝－2(1)a²＋4(1)a＋1.

由已知，得－2(1)a²＋4(1)a＋1＝1.

又因为a>0，所以a＝2(1)，即AB的长为2(1).

12．已知P为△ABC所在平面内一点，且满足→(AP)＝5(1)→(AC)＋5(2)→(AB)，则△APB的面积与△APC的面积之比为________．

解析：由题意得，5→(AP)＝→(AC)＋2→(AB)，

2→(AP)－2→(AB)＝→(AC)－→(AP)－2→(AP)，

－2(→(PA)＋→(PB))＝→(PC)，如图所示，以PA，PB为邻边作▱PAEB，

则C，P，E三点共线，连接PE交AB于点O，则→(PC)＝2→(EP)＝4→(OP)，

所以S△APC(S△APB)＝S△APC(2S△APO)＝|PC|(2|OP|)＝2(1).

答案：1∶2

13．如图，已知在Rt△OAB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，点M在OB上，且OM＝1，点N在OA上，且ON＝1，P为AM与BN的交点，则∠MPN＝______．

解析：设→(OA)＝a，→(OB)＝b，→(AM)与→(BN)的夹角为θ，

则→(OM)＝2(1)b，→(ON)＝3(1)a，

又因为→(AM)＝→(OM)－→(OA)＝2(1)b－a，

→(BN)＝→(ON)－→(OB)＝3(1)a－b.

所以→(AM)·→(BN)＝b－a(1)·a－b(1)＝－5，

又|→(AM)|＝，|→(BN)|＝，所以cos θ＝10(－5)＝－2(2).

又因为θ∈[0，π]，所以θ＝4(3π)，

又因为∠MPN为向量→(AM)，→(BN)的夹角，所以∠MPN＝4(3π).

答案：4(3π)

14．已知正方形ABCD，E，F分别是CD，AD的中点，BE，CF交于点P.求证：

(1)BE⊥CF；

(2)AP＝AB.

证明：(1)以A为坐标原点，以→(AB)的方向为x轴的正方向，以→(AD)的方向为y轴的正方向，建立平面直角坐标系(图略)，不妨设AB＝2，

则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，E(1，2)，F(0，1)．

因为→(BE)＝(－1，2)，→(CF)＝(－2，－1)，

所以→(BE)·→(CF)＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0，

所以→(BE)⊥→(CF)，即BE⊥CF.

(2)设P(x，y)，则→(FP)＝(x，y－1)，→(CF)＝(－2，－1)，

因为→(FP)∥→(CF)，所以－x＝－2(y－1)，即x＝2y－2.①

同理，由→(BP)∥→(BE)，得y＝－2x＋4.②

由①②得x＝5(6)，y＝5(8)，即P5(8).

所以|→(AP)|²＝5(6)＋5(8)＝4＝|→(AB)|²，

所以|→(AP)|＝|→(AB)|，即AP＝AB.

[C　拓展探究]

15．一条宽为 km的河，水流速度为2 km/h，在河两岸有两个码头A，B，已知AB＝ km，船在水中最大航速为4 km/h，问该船从A码头到B码头怎样安排航行速度可使它最快到达彼岸B码头？用时多少？

解：如图所示，设→(AC)为水流速度，→(AD)为航行速度，以AC和AD为邻边作▱ACED且当AE与AB重合时能最快到达彼岸，

根据题意AC⊥AE，在Rt△ADE和▱ACED中，|→(DE)|＝|→(AC)|＝2，|→(AD)|＝4，∠AED＝90°，

所以|→(AE)|＝|2(DE)＝2.

又AB＝，所以用时0.5 h.

因为sin∠EAD＝2(1)，∠EAD∈(0°，90°)，

所以∠EAD＝30°.

综上所述，船实际航行速度大小为2 km/h，与水流成120°角时能最快到达B码头，用时0.5 h.