第3课时　二倍角的正弦、余弦、正切公式

(教师独具内容)

课程标准：1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用．

教学重点：二倍角的正弦、余弦、正切公式以及公式的变形，二倍角公式的简单应用．

教学难点：倍角公式与以前学过的同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和(差)角公式的综合应用.

【知识导学】

知识点一　　　二倍角的正弦、余弦、正切公式

公式的适用条件：在S_2α，C_2α中，α∈07(□)R，在T_2α中，α≠08(□)2(kπ)＋4(π)(k∈Z)，且α≠09(□)kπ＋2(π)(k∈Z)．

知识点二　　　二倍角公式的变形形式

(1)(sinα±cosα)²＝01(□)1±sin2α；

(2)cos²α＝02(□)2(1＋cos2α)；

(3)sin²α＝03(□)2(1－cos2α).

【新知拓展】

1．“二倍”的含义

倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是2(3α)的2倍．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．

2．用正切来表示正弦、余弦的倍角公式，也叫“万能公式”，公式如下：

(1)sin2α＝2sinαcosα＝sin2α＋cos2α(2sinαcosα)＝1＋tan2α(2tanα)，即sin2α＝1＋tan2α(2tanα).

(2)cos2α＝cos²α－sin²α＝sin2α＋cos2α(cos2α－sin2α)＝1＋tan2α(1－tan2α)，即cos2α＝1＋tan2α(1－tan2α).

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．(　　)

(2)存在角α，使得sin2α＝2sinα成立．(　　)

(3)对任意角α，总有tan2α＝1－tan2α(2tanα).(　　)

答案　(1)×　(2)√　(3)×

2．做一做

(1)计算cos²15°－sin²15°结果等于(　　)

A.2(1)  B.2(2)  C.3(3)  D.2(3)

(2)2(1)sin15°cos15°的值等于(　　)

A.4(1)  B.8(1)  C.16(1)  D.2(1)

(3)已知cosα＝3(1)，则cos2α等于(　　)

A.3(1)  B.3(2)  C．－9(7)  D.9(7)

(4)若tanα＝2(1)，则tan2α＝(　　)

A.3(4)  B.4(3)  C.5(1)  D．－3(4)

答案　(1)D　(2)B　(3)C　(4)A

题型一  给角求值问题

例1　求下列各式的值：

(1)sin12(π)cos12(π)；(2)1－2sin²750°；

(3)1－tan2150°(2tan150°)；(4)cos20°cos40°cos80°.

[解]　(1)原式＝12()＝6()＝4(1).

(2)原式＝cos(2×750°)＝cos1500°＝cos(4×360°＋60°)＝cos60°＝2(1).

(3)原式＝tan(2×150°)＝tan300°

＝tan(360°－60°)＝－tan60°＝－.

(4)原式＝2sin20°(2sin20°cos20°cos40°cos80°)

＝4sin20°(2sin40°cos40°cos80°)

＝8sin20°(2sin80°cos80°)

＝8sin20°(sin160°)

＝8(1).

金版点睛

正用、逆用二倍角公式求值

对于给角求值问题，需观察题中角度间的关系，发现其特征，并能根据式子的特点构造出二倍角的形式，正用、逆用二倍角公式求值．注意利用诱导公式和同角三角函数基本关系对已知式进行转化．

　求下列各式的值：

(1)cos5(π)cos5(2π)；(2)2(1)－cos²8(π)；

(3)tan12(π)－12(π).

解　(1)原式＝5(π)＝5(π)

＝5(π)＝5(π)＝4(1).

(2)原式＝8()＝－2(－1)

＝－2(1)cos4(π)＝－4(2).

(3)原式＝12(π)＝－2×12(π)

＝－2×6(π)＝3()＝－2.

题型二  给值求值问题

例2　已知cos4(π)＝5(3)，2(π)≤α<2(3π)，求cos4(π)的值．

[解]　∵2(π)≤α<2(3π)，∴4(3π)≤α＋4(π)<4(7π).

∵cos4(π)>0，∴2(3π)<α＋4(π)<4(7π).

∴sin4(π)＝－4(π)

＝－2(3)＝－5(4).

∴cos2α＝sin2(π)＝2sin4(π)cos4(π)

＝2×5(4)×5(3)＝－25(24)，

sin2α＝－cos2(π)＝1－2cos²4(π)

＝1－2×5(3)²＝25(7).

∴cos4(π)＝2(2)cos2α－2(2)sin2α＝2(2)×25(7)＝－50(2).

[结论探究]　若本例条件不变，求＋α(π)的值．

解　∵2(π)≤α<2(3π)，∴4(3π)≤4(π)＋α<4(7π).

又cos4(π)＝5(3)>0，∴2(3π)<4(π)＋α<4(7π)，

∴sin＋α(π)＝－5(4)，

∴cos2α＝sin2(π)＝2sin4(π)cos4(π)

＝2×5(4)×5(3)＝－25(24)，

∴＋α(π)＝5(4)＝5(6).

金版点睛

解决条件求值问题的方法

给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：

(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；

(2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．

　已知x∈2(π)，sin－x(π)＝－5(3)，求cos2x的值．

解　解法一：由已知条件得cosx－sinx＝－5(2)，将此式两边平方得2sinxcosx＝25(7).

由此可得(cosx＋sinx)²＝25(32).

因为x∈2(π)，所以sinx>0，cosx>0.

所以cosx＋sinx＝5(2).

故cos2x＝cos²x－sin²x＝(cosx＋sinx)(cosx－sinx)

＝5(2)×5(2)＝－25(24).

解法二：∵sin－x(π)＝－5(3)，x∈2(π)，

∴4(π)－x∈，0(π)，cos－x(π)＝5(4).

cos2x＝sin－2x(π)＝2sin－x(π)cos－x(π)

＝2×5(3)×5(4)＝－25(24).

题型三  给值求角问题

例3　已知tanα＝3(1)，tanβ＝－7(1)，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．

[解]　∵tanα＝3(1)>0，α∈(0，π)，∴α∈2(π)，2α∈(0，π)，

∴tan2α＝1－tan2α(2tanα)＝2(1)＝4(3)>0，

∴2α∈2(π).

又∵tanβ＝－7(1)<0，β∈(0，π)，∴β∈，π(π)，

∴tan(2α－β)＝1＋tan2αtanβ(tan2α－tanβ)＝7(1)＝1，

又∵2α∈2(π)，β∈，π(π)，

∴2α－β∈(－π，0)，∴2α－β＝－4(3π).

金版点睛

在给值求角时，一般选择一个适当的三角函数，根据题设确定所求角的范围，然后再求出角.其中确定角的范围是关键的一步.

　已知tanα＝7(1)，sinβ＝10(10)，且α，β为锐角，求α＋2β的值．

解　∵tanα＝7(1)<1，且α为锐角，∴0<α<4(π)，

又∵sinβ＝10(10)<2(2)，且β为锐角，∴0<β<4(π)，

∴0<α＋2β<4(3π).

由sinβ＝10(10)，β为锐角，得cosβ＝10(10)，∴tanβ＝3(1)，

∴tan(α＋β)＝1－tanαtanβ(tanα＋tanβ)＝2(1)，

∴tan(α＋2β)＝()()1－tanα＋βtanβ(tanα＋β＋tanβ)＝3(1)＝1，

故α＋2β＝4(π).

题型四  有关化简与证明问题

例4　(1)化简：1－tanθ(1)－1＋tanθ(1)；

(2)证明：1＋sin4α－cos4α(1＋sin4α＋cos4α)＝tan2α(1).

[解]　(1)原式＝()()()()1－tanθ1＋tanθ(1＋tanθ－1－tanθ)

＝1－tan2θ(2tanθ)＝tan2θ.

(2)证明：左边分子为2cos²2α＋2sin2αcos2α＝2cos2α·(cos2α＋sin2α)．

左边分母为2sin²2α＋2sin2αcos2α＝2sin2α(sin2α＋cos2α)．

故两式相除，即sin2α(cos2α)＝tan2α(1).

金版点睛

证明的本质问题实际上就是化简

三角函数的化简与证明有四个方向，即分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异，化繁为简，或用“两头凑”的方法．

　(1)化简1－cos80°(3sin10°)＝________；

(2)求证：()()sin4x(sin2x＋cos2x－1sin2x－cos2x＋1)＝tanx.

答案　(1)　(2)见解析

解析　(1)1－cos80°(3sin10°)

＝()2sin240°(2sin30°cos10°＋cos30°sin10°)＝sin40°(2sin40°)＝.

(2)证法一：左边＝

()()sin4x(2sinxcosx－2sin2x2sinxcosx＋2sin2x)

＝()sin4x(4sin2xcos2x－sin2x)＝2sin2xcos2x(4sin2xcos2x)

＝2×2sinxcosx(4sin2x)＝tanx＝右边．

故原等式成立．

证法二：左边＝()()()sin2x＋cos2x2－1(sin2x＋cos2x－1sin2x－cos2x＋1)

＝()()()()sin2x＋cos2x－1sin2x＋cos2x＋1(sin2x＋cos2x－1sin2x－cos2x＋1)

＝sin2x＋1＋cos2x(sin2x＋1－cos2x)＝2sinxcosx＋2cos2x(2sinxcosx＋2sin2x)

＝()()2cosxsinx＋cosx(2sinxcosx＋sinx)＝tanx＝右边．

故原等式成立．

1．若tanα＝3，则cos2α(sin2α)的值等于(　　)

A．2  B．3  C．4  D．6

答案　D

解析　cos2α(sin2α)＝cos2α(2sinαcosα)＝2tanα＝2×3＝6.

2．下列各式中，值为2(3)的是(　　)

A．2sin15°cos15°   B．cos²15°－sin²15°

C．2sin²15°   D．sin²15°＋cos²15°

答案　B

解析　A项，2sin15°cos15°＝sin30°＝2(1)；B项，cos²15°－sin²15°＝cos30°＝2(3)；C项，2sin²15°＝1－cos30°＝1－2(3)；D项，sin²15°＋cos²15°＝1.故选B.

3．cos⁴8(π)－sin⁴8(π)的值为(　　)

A．0  B.2(2)  C．1  D．－2(2)

答案　B

解析　cos⁴8(π)－sin⁴8(π)＝8(π)8(π)＝cos4(π)＝2(2).

4．设sin2α＝－sinα，α∈，π(π)，则tan2α的值是________．

答案　

解析　∵α∈，π(π)，∴sinα>0，

又∵sin2α＝2sinαcosα＝－sinα，

∴cosα＝－2(1)，∴sinα＝2(3)，tanα＝－，

∴tan2α＝1－tan2α(2tanα)＝()2(3)＝.

5．已知cosα＝－13(12)，α∈2(3π)，求sin2α，cos2α，tan2α的值．

解　∵cosα＝－13(12)，α∈2(3π)，

∴sinα＝－＝－13(5)，

∴sin2α＝2sinαcosα＝2×13(5)×13(12)＝169(120)，

cos2α＝1－2sin²α＝1－2×13(5)²＝169(119)，

tan2α＝cos2α(sin2α)＝119(120).