5.4.3　正切函数的性质与图象

(教师独具内容)

课程标准：1.掌握正切函数的周期性，并会求正切函数y＝tan(ωx＋φ)的周期.2.掌握正切函数y＝tanx的奇偶性，并会判断简单三角函数的奇偶性.3.了解正切函数图象的画法，掌握正切函数的单调性．

教学重点：正切函数的性质与图象．

教学难点：利用正切函数的图象研究正切函数的单调性及值域.

【知识导学】

知识点一　　　正切函数的图象

(1)正切函数的图象

(2)正切函数的图象叫做01(□)正切曲线．

(3)正切函数的图象特征

正切曲线是由被相互平行的直线02(□)x＝2(π)＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的．

知识点二　　　正切函数的性质

(1)正切函数的性质

(2)函数y＝tanωx(ω≠0)的最小正周期是07(□)|ω|(π).

【新知拓展】

(1)画函数y＝tanx，x∈2(π)上的简图时，可采用“三点两线”法，即可以先描三点，－1(π)，(0,0)，，1(π)，再画两条平行的虚线x＝－2(π)，x＝2(π)，最后连线．这两条虚线实质是正切函数图象的两条渐近线．

(2)虽然正切函数y＝tanx在＋kπ(π)(k∈Z)上单调递增，但不能说正切函数在其定义域上单调递增．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)正切函数的定义域和值域都是R.(　　)

(2)正切函数在整个定义域上单调递增．(　　)

(3)正切函数在定义域内无最大值和最小值．(　　)

(4)正切函数的图象既是轴对称图形，也是中心对称图形．(　　)

答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×

2．做一做

(1)y＝tanx(　　)

A．在整个定义域上单调递增

B．在整个定义域上单调递减

C．在每一个开区间＋kπ(π)(k∈Z)上单调递增

D．在每一个闭区间＋kπ(π)(k∈Z)上单调递增

(2)y＝tan4(π)的定义域是(　　)

A.4(π)   B.4(π)

C.，k∈Z(π)   D.，k∈Z(3π)

(3)函数y＝2tan4(π)的最小正周期是________．

(4)函数y＝tan3(π)的单调增区间为________．

答案　(1)C　(2)D　(3)3(π)　(4)6(5π)(k∈Z)

题型一   正切函数的基本性质

例1　求函数y＝tan3(π)的定义域、最小正周期、单调区间和对称中心．

[解]　①由3(x)－3(π)≠kπ＋2(π)，k∈Z，得x≠3kπ＋2(5π)，k∈Z.

∴函数的定义域为，k∈Z(5π).

②T＝3(1)＝3π，∴函数的最小正周期为3π.

③由kπ－2(π)＜3(x)－3(π)＜kπ＋2(π)，k∈Z，

解得3kπ－2(π)＜x＜3kπ＋2(5π)，k∈Z.

∴函数的单调递增区间为2(5π)，k∈Z，无单调递减区间．

④由3(x)－3(π)＝2(kπ)，k∈Z，得x＝2(3kπ)＋π，k∈Z.

∴函数的对称中心是＋π，0(3kπ)，k∈Z.

金版点睛

求函数周期与单调区间的方法

(1)一般地，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝|ω|(π)，常常利用此公式来求周期．

(2)求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法

若ω>0，由于y＝tanx在每一个单调区间上递增，故可用“整体代换”的思想，令kπ－2(π)<ωx＋φ<kπ＋2(π)，k∈Z，解得x的范围即可．

若ω<0，可利用诱导公式先把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可．

(3)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称．若不对称，则该函数为非奇非偶函数，若对称，再判断f(－x)与f(x)的关系．

　求函数y＝－2tan3(π)的定义域、值域，并指出它的周期、奇偶性和单调性．

解　①3x＋3(π)≠2(π)＋kπ，k∈Z，

∴定义域，k∈Z(kπ).

②函数的值域为R.

③函数的最小正周期为T＝3(π).

④∵该函数的定义域不关于原点对称，

∴该函数为非奇非偶函数．

⑤－2(π)＋kπ＜3x＋3(π)＜2(π)＋kπ，k∈Z，

∴－18(5π)＋3(kπ)＜x＜18(π)＋3(kπ)，k∈Z，

∴函数的单调递减区间为3(kπ)，k∈Z.

题型二   正切函数的单调性及应用

例2　(1)求函数y＝tan4(π)的单调区间；

(2)比较tan4(13π)与tan5(12π)的大小；

(3)已知f(x)＝tan²x－2tanx3(π)，求f(x)的值域．

[解]　(1)由kπ－2(π)＜2(1)x－4(π)＜kπ＋2(π)(k∈Z)得，2kπ－2(π)＜x＜2kπ＋2(3π)，k∈Z，

所以函数y＝tan4(π)的单调递增区间是2(3π)(k∈Z)．

(2)由于tan4(13π)＝tan4(3π)＝tan4(3π)＝－tan4(π)，tan5(12π)＝－tan5(2π)＝－tan5(2π)，

又0＜4(π)＜5(2π)＜2(π)，而y＝tanx在2(π)上单调递增，

所以tan4(π)＜tan5(2π)，－tan4(π)＞－tan5(2π)，

即tan4(13π)＞tan5(12π).

(3)令tanx＝t，由|x|≤3(π)，则t∈[－，]．

即有y＝t²－2t＝(t－1)²－1，

则y在[－，1]上单调递减，在[1，]上单调递增．

∴y的最大值为3＋2，最小值为－1.

∴f(x)的值域为[－1,3＋2]．

[条件探究]　把本例(1)改为求y＝tan4(π)的单调区间．

解　y＝tan4(π)＝－tan4(π)，

则由kπ－2(π)<2(1)x－4(π)<kπ＋2(π)(k∈Z)，得

2kπ－2(π)<x<2kπ＋2(3π)(k∈Z)．

∴函数y＝tan4(π)的单调递减区间是

2(3π)(k∈Z)．

金版点睛

运用正切函数的单调性比较大小的方法

(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．

(2)运用单调性比较大小关系．

　(1)比较tan1，tan2，tan3的大小；

(2)求函数y＝3tan－2x(π)的单调区间．

解　(1)因为tan2＝tan(2－π)，tan3＝tan(3－π)．

又因为2(π)＜2＜π，所以－2(π)＜2－π＜0.

因为2(π)＜3＜π，所以－2(π)＜3－π＜0.

显然－2(π)＜2－π＜3－π＜1＜2(π)，

又y＝tanx在2(π)上单调递增，

所以tan(2－π)＜tan(3－π)＜tan1，

即tan2＜tan3＜tan1.

(2)y＝3tan－2x(π)＝－3tan4(π)，

由－2(π)＋kπ＜2x－4(π)＜2(π)＋kπ(k∈Z)，得

－8(π)＋2(kπ)＜x＜8(3π)＋2(kπ)(k∈Z)，

所以y＝3tan－2x(π)的单调递减区间为

2(kπ)(k∈Z).

题型三  与正切函数有关的定义域问题

例3　求函数y＝＋lg (1－tanx)的定义域．

[解]　函数y＝＋lg (1－tanx)有意义，等价于1－tanx>0，(tanx≥0，)解得0≤tanx<1.

由正切函数图象可得kπ≤x<kπ＋4(π)，k∈Z.

所以原函数的定义域为kπ≤x<kπ＋4(π)，k∈Z.

金版点睛

解正切不等式的步骤

(1)作出正切函数y＝tanx在2(π)上的图象；

(2)求出在2(π)内使tanx＝a成立的x的值；

(3)利用图象确定不等式在2(π)内的解集；

(4)结合函数的周期性把(3)中的解集扩展到整个定义域内．

　求下列函数的定义域：

(1)y＝1＋tanx(1)；

(2)y＝lg (－tanx)．

解　(1)要使函数y＝1＋tanx(1)有意义，必须且只需()k∈Z，(π)

所以函数的定义域为

，k∈Z(π).

(2)因为－tanx＞0，所以tanx＜.

又因为当tanx＝时，x＝3(π)＋kπ(k∈Z)，

根据正切函数图象，得kπ－2(π)＜x＜kπ＋3(π)(k∈Z)，

所以函数的定义域是，k∈Z(π).

题型四  正切函数图象的应用

例4　画出函数y＝|tanx|的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性．

[解]　y＝|tanx|

＝()()k∈Z.(π)

可作出其图象(如图)，由图象知函数y＝|tanx|的单调递减区间为，kπ(π)(k∈Z)，单调递增区间为2(π)(k∈Z)．

∴该函数是偶函数，周期为π.

金版点睛

作函数y＝|f(x)|以及周期函数图象的方法

(1)作出函数y＝|f(x)|的图象一般利用图象变换方法，具体步骤是：

①保留函数y＝f(x)图象在x轴上方的部分；

②将函数y＝f(x)图象在x轴下方的部分沿x轴向上翻折．

(2)若函数为周期函数，可先研究其一个周期内的图象，再利用周期性，延展到定义域上即可．

　设函数f(x)＝tan3(π).

(1)求函数f(x)的周期，对称中心；

(2)作出函数f(x)在一个周期内的简图．

解　(1)∵f(x)＝tan3(π)，

∴ω＝2(1)，∴周期T＝ω(π)＝2(1)＝2π.

由2(x)－3(π)＝2(kπ)(k∈Z)，得x＝kπ＋3(2π)(k∈Z)，

故函数的对称中心是，0(2π)，k∈Z.

(2)令2(x)－3(π)＝0，得x＝3(2π)，

令2(x)－3(π)＝2(π)，得x＝3(5π).

令2(x)－3(π)＝－2(π)，得x＝－3(π).

∴函数f(x)＝tan3(π)的图象与x轴的一个交点坐标是，0(2π)，在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x＝－3(π)，x＝3(5π)，从而得函数f(x)＝tan3(π)在一个周期3(5π)内的简图(如图)．

1．函数y＝3tan3(π)的一个对称中心是(　　)

A.，0(π)   B.3(2π)

C.，0(2π)   D．(0,0)

答案　C

解析　由2(1)x＋3(π)＝2(kπ)(k∈Z)，得x＝kπ－3(2π)(k∈Z)．令k＝0，得函数y＝3tan3(π)的一个对称中心是，0(2π).故选C.

2．下列函数中，同时满足：①在2(π)上单调递增，②为奇函数，③以π为最小正周期的函数是(　　)

A．y＝tanx   B．y＝cosx

C．y＝tan2(x)   D．y＝|sinx|

答案　A

解析　经验证，选项B，D中所给函数都是偶函数，不符合；选项C中所给函数的周期为2π.故选A.

3．与函数y＝tan4(π)的图象不相交的一条直线是(　　)

A．x＝2(π)   B．x＝－2(π)

C．x＝4(π)   D．x＝8(π)

答案　D

解析　令2x＋4(π)＝kπ＋2(π)(k∈Z)，得x＝2(kπ)＋8(π)(k∈Z)，所以与函数图象不相交的一条直线为x＝8(π).

4．－tan5(6π)与tan5(13π)的大小关系是________．

答案　－tan5(6π)<tan5(13π)

解析　－tan5(6π)＝－tan5(π)，tan5(13π)＝－tan5(13π)＝－tan5(3π).因为0<5(π)<2(π)<5(3π)<π，所以tan5(π)>0，tan5(3π)<0.所以－tan5(π)<－tan5(3π)，即－tan5(6π)<tan5(13π).

5．求函数y＝tan6(π)的定义域、周期及单调区间．

解　由2(1)x－6(π)≠2(π)＋kπ，k∈Z，得

x≠3(4π)＋2kπ，k∈Z，

所以函数y＝tan6(π)的定义域为＋2kπ，k∈Z(4π).

T＝2(1)＝2π，所以函数y＝tan6(π)的周期为2π.

由－2(π)＋kπ＜2(1)x－6(π)＜2(π)＋kπ，k∈Z，得

－3(2π)＋2kπ＜x＜3(4π)＋2kπ，k∈Z.

所以函数y＝tan6(π)的单调递增区间为＋2kπ(4π)(k∈Z)．