5.4.1　正弦函数、余弦函数的图象

(教师独具内容)

课程标准：1.了解利用单位圆画正弦曲线的方法.2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系．

教学重点：正弦函数、余弦函数图象的作法．

教学难点：1.利用单位圆画正弦曲线.2.正弦曲线与余弦曲线之间的联系.

【知识导学】

知识点一　　　正弦函数的图象

(1)正弦曲线

正弦函数y＝sinx，x∈R的图象叫做01(□)正弦曲线．

(2)正弦函数图象的画法

①几何法

(ⅰ)利用02(□)单位圆画出y＝sinx，x∈[0,2π]的图象；

(ⅱ)将图象不断03(□)向左、向右平移(每次移动2π个单位长度)．

②五点法

(ⅰ)画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个关键点04(□)(0,0)，，1(π)，(π，0)，，－1(3π)，(2π，0)，用光滑的曲线连接；

(ⅱ)将所得图象05(□)向左、向右平行移动(每次移动2π个单位长度)．

知识点二　　　余弦函数的图象

(1)余弦曲线

余弦函数y＝cosx，x∈R的图象叫做01(□)余弦曲线．

(2)余弦函数图象的画法

①要得到y＝cosx的图象，只需把y＝sinx的图象向左平移02(□)2(π)个单位长度即可，这是由于cosx＝sin2(π).

②用“五点法”画余弦曲线y＝cosx在[0,2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为03(□)(0,1)，，0(π)，(π，－1)，，0(3π)，(2π，1)，再用光滑的曲线连接．将所得图象不断04(□)向左、向右平移(每次移动2π个单位长度)．

【新知拓展】

正弦曲线和余弦曲线是向左右两边无限延伸的，正弦曲线与余弦曲线形状相同，但在同一坐标系下的位置不同．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)y＝sinx，x∈[0,2π]的图象关于点P(π，0)成中心对称．(　　)

(2)y＝cosx，x∈[0,2π]的图象关于直线x＝2(π)成轴对称．(　　)

(3)正弦函数、余弦函数的图象不超过直线y＝1和y＝－1所夹的范围．(　　)

(4)正弦曲线与余弦曲线形状相同，只是位置不同．(　　)

答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√

2．做一做

(1)下列各点中，不在y＝sinx图象上的是(　　)

A．(0,0)   B.，1(π)

C.，－1(3π)    D．(π，1)

(2)从函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象来看，对应于sinx＝2(1)的x有(　　)

A．1个值    B．2个值

C．3个值    D．4个值

(3)对于余弦函数y＝cosx的图象，有以下描述：

①将[0,2π]内的图象向左向右无限伸展；

②与y＝sinx的图象形状完全一样，只是位置不同；

③与y轴有无数个交点；

④关于y轴对称．

其中正确的描述有(　　)

A．1项    B．2项  

C．3项    D．4项

答案　(1)D　(2)B　(3)C

题型一  五点法作图

例1　用“五点法”作出下列函数的简图：

(1)y＝sinx－1，x∈[0,2π]；

(2)y＝2＋cosx，x∈[0,2π]．

[解]　(1)列表：

描点、连线，如图：

(2)列表：

描点、连线，如图：

金版点睛

描点法画正弦函数图象(y＝sinx)的关键

(1)列表时，自变量x的数值要适当选取

①在函数定义域内取值；②由小到大的顺序取值；③取的个数应分布均匀；④应注意图形中的特殊点(如：端点，交点，顶点)；⑤尽量取特殊角．

(2)描点连线时应注意

①两坐标轴上的单位长度尽可能一致，以免改变图象的真实形状；

②变量x，y数值相差悬殊时，也允许采用不同长度单位；

③连线时一定要用光滑的曲线连接，防止画成折线．

　作出下列函数的图象：

(1)y＝－sinx(0≤x≤2π)；

(2)y＝1＋cosx(0≤x≤2π)．

解　(1)列表：

描点连线，如下图：

(2)列表：

描点连线，如下图：

题型二  用图象变换作函数图象

例2　作出函数y＝的图象．

[解]　y＝＝|sinx|，

即y＝()()－sinx2kπ＋π<x<2kπ＋2π(sinx2kπ≤x≤2kπ＋π，)(k∈Z)．

其图象如下图：

金版点睛

用图象变换作函数图象

对于某些函数的图象，如y＝－sinx，y＝|sinx|，y＝sin|x|等可通过图象变换，如平移变换、对称变换等作图．

(1)把y＝sinx图象在x轴上方的保留，x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方，就可得y＝|sinx|的图象．

(2)把y＝sinx图象在y轴右侧的保留，去掉y轴左侧的图象，再把y轴右侧的图象沿y轴翻折到y轴左侧，就可得y＝sin|x|的图象．

　作出函数y＝－sin|x|的图象．

解　y＝－sin|x|＝()()sinxx<0.(－sinxx≥0，)

其图象如图所示：

题型三  正弦函数、余弦函数图象的简单应用

例3　利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x的集合．

(1)sinx≥2(1)；(2)cosx≤2(1).

[解]　(1)作出正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x的集合为＋2kπ(5π)，k∈Z.

(2)作出余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x的集合为＋2kπ(5π)，k∈Z.

金版点睛

用三角函数图象解不等式的步骤

正弦函数、余弦函数图象的主要作用是解简单的三角不等式，用三角函数图象解不等式的步骤是：

(1)作出相应的正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象；

(2)写出所求不等式在区间[0,2π]上的解集；

(3)根据诱导公式一写出定义域内的解集．

　利用正弦曲线，求满足2(1)<sinx≤2(3)的x的集合．

解　首先作出y＝sinx在[0,2π]上的图象．如图所示，

作直线y＝2(1)，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y＝sinx，x∈[0,2π]的交点横坐标为6(π)和6(5π)；作直线y＝2(3)，该直线与y＝sinx，x∈[0,2π]的交点横坐标为3(π)和3(2π).观察图象可知，在[0,2π]上，当6(π)<x≤3(π)或3(2π)≤x<6(5π)时，不等式2(1)<sinx≤2(3)成立，

所以2(1)<sinx≤2(3)的解集为{x|6(π)＋2kπ<x≤3(π)＋2kπ或3(2π)＋2kπ≤x<6(5π)＋2kπ，k∈Z}．

1．用“五点法”作y＝sin2x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是(　　)

A．0，2(π)，π，2(3π)，2π   B．0，4(π)，2(π)，4(3π)，π

C．0，π，2π，3π，4π   D．0，6(π)，3(π)，2(π)，3(2π)

答案　B

解析　根据“五点法”，可令2x＝0，2(π)，π，2(3π)，2π，解得x＝0，4(π)，2(π)，4(3π)，π，故选B.

2．以下对正弦函数y＝sinx的图象描述不正确的是(　　)

A．在x∈[2kπ，2kπ＋2π](k∈Z)上的图象形状相同，只是位置不同

B．介于直线y＝1与直线y＝－1之间

C．关于x轴对称

D．与y轴仅有一个交点

答案　C

解析　由正弦函数图象可知，A正确；由正弦函数的图象可知B正确；由正弦函数的图象，知正弦函数的图象不关于x轴对称，关于原点对称，故C错误；由正弦函数图象，知D正确．故选C.

3．要得到正弦曲线，只要将余弦曲线(　　)

A．向右平移2(π)个单位长度

B．向左平移2(π)个单位长度

C．向右平移2(3π)个单位长度

D．向左平移π个单位长度

答案　A

解析　由于cos2(π)＝sinx，所以只需将y＝cosx的图象向右平移2(π)个单位长度即可．

4．满足cosx>0，x∈[0,2π]的x的取值范围是________．

答案　2(π)∪，2π(3π)

解析　画出函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象如图所示．

由图象可知满足cosx>0，x∈[0,2π]的x的取值范围为2(π)∪，2π(3π).

5．用“五点法”作出函数y＝1＋2sinx，x∈[0,2π]的图象．

解　列表：

在直角坐标系中描出五点(0,1)，，3(π)，(π，1)，，－1(3π)，(2π，1)，然后用光滑曲线顺次连接起来，就得到y＝1＋2sinx，x∈[0,2π]的图象．