5.1.1　任意角

(教师独具内容)

课程标准：了解任意角的概念、理解象限角、终边相同角的概念并会用集合符号表示这些角．

教学重点：理解正角、负角、零角、相反角、象限角的概念，掌握终边相同角的表示方法．

教学难点：用集合符号表示终边相同的角．

【知识导学】

知识点一　　　角的相关概念

(1)角可以看成平面内一条01(□)射线绕着它的端点从一个位置02(□)旋转到另一个位置所成的03(□)图形．

(2)角的表示：

如图，OA是角α的04(□)始边，OB是角α的05(□)终边，O是角的06(□)顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．

(3)按照角的旋转方向可将角分为如下三类：

知识点二　　　相反角

如图，我们把射线OA绕端点O按01(□)不同方向旋转02(□)相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为03(□)－α.

知识点三　　　象限角

(1)若角的顶点在原点，角的始边与01(□)x轴的非负半轴重合，则角的02(□)终边在第几象限，就称这个角是第几象限角．

(2)若角的终边在03(□)坐标轴上，则认为这个角不属于任何一个象限．

知识点四　　　终边相同的角

设α表示任意角，所有与角α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为{β|β＝01(□)α＋k·360°，k∈Z}．

【新知拓展】

对终边相同的角的理解

(1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；

(2)k∈Z，即k为整数，这一条件不可少；

(3)终边相同的角的表示不唯一．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)研究终边相同的角的前提条件是角的顶点在坐标原点．(　　)

(2)锐角是第一象限的角，但第一象限的角不一定是锐角．(　　)

(3)象限角与终边落在坐标轴上的角表示形式是唯一的．(　　)

答案　(1)×　(2)√　(3)×

2．做一做

(1)与600°角终边相同的角可表示为(　　)

A．k·360°＋220°(k∈Z)

B．k·360°＋240°(k∈Z)

C．k·360°＋60°(k∈Z)

D．k·360°＋260°(k∈Z)

(2)若角α与角β终边相同，则α－β＝________.

答案　(1)B　(2)k·360°，k∈Z

题型一  正确理解角的概念

例1　下列命题正确的是(　　)

A．终边与始边重合的角是零角

B．终边和始边都相同的两个角一定相等

C．在90°≤β<180°范围内的角β不一定是钝角

D．小于90°的角是锐角

[解析]　终边与始边重合的角还可能是360°，720°，…，A错误；终边和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍，如30°与－330°，B错误；由于在90°≤β<180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，C正确；小于90°的角可以是0°，也可以是负角，D错误．故选C．

[答案]　C

金版点睛

理解与角的概念有关问题的关键

关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．

　(1)经过2个小时，钟表上的时针旋转了(　　)

A．60° B．－60°  

C．30° D．－30°

(2)射线OA绕端点O顺时针旋转90°到OB位置，接着逆时针旋转100°到OC位置，然后再顺时针旋转240°到OD位置，求∠AOD的大小．

答案　(1)B　(2)见解析

解析　(1)钟表的时针旋转一周是－360°，其中每小时旋转－12(360°)＝－30°，所以经过2个小时应旋转－60°.故选B．

(2)如图，∠AOB＝90°，∠BOC＝100°，∠COD＝360°－240°＝120°，∠AOD＝∠BOC－∠AOB＋∠COD＝100°－90°＋120°＝130°.

题型二  终边相同的角的表示

例2　(1)写出与α＝－1910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β<360°的元素β写出来；

(2)分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合．

[解]　(1)与角α＝－1910°终边相同的角的集合为{β|β＝－1910°＋k·360°，k∈Z}．

∵－720°≤β<360°，

∴－720°≤－1910°＋k·360°<360°，336(11)≤k<636(11).

故k＝4,5,6，

k＝4时，β＝－1910°＋4×360°＝－470°，

k＝5时，β＝－1910°＋5×360°＝－110°，

k＝6时，β＝－1910°＋6×360°＝250°.

(2)①{β|β＝k·180°，k∈Z}．

②{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}．

[变式探究]　在与角1030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．

(1)最小的正角；

(2)最大的负角．

解　1030°÷360°＝2……310°，

所以1030°＝2×360°＋310°，

所以与角1030°终边相同的角的集合为{α|α＝k·360°＋310°，k∈Z}．

(1)所求的最小正角为310°.

(2)取k＝－1得所求的最大负角为－50°.

金版点睛

在0°～360°范围内找与给定角终边相同的角的方法

(1)把任意角化为α＋k·360°(k∈Z且0°≤α<360°)的形式，关键是确定k.可以用观察法(α的绝对值较小)，也可用除法．

(2)要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．

　已知－990°<α<－630°，且α与120°角的终边相同，则α＝________.

答案　－960°

解析　∵α与120°角终边相同，故有α＝k·360°＋120°，k∈Z.又∵－990°<k·360°＋120°<－630°，即－1110°<k·360°<－750°，解得－312(1)<k<－212(1)，又k∈Z，故k＝－3，α＝(－3)·360°＋120°＝－960°.

题型三  象限角的判定

例3　(1)已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．

①－75°；②855°；③－510°；

(2)若α是第二象限角，则2α，2(α)分别是第几象限的角？

[解]　(1)作出各角，其对应的终边如图所示：

①由图a可知：－75°是第四象限角．

②由图b可知：855°是第二象限角．

③由图c可知：－510°是第三象限角．

(2)①∵α是第二象限角，

∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)，

∴180°＋k·720°<2α<360°＋k·720°(k∈Z)，

∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上．

②∵α是第二象限角，

∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)，

∴45°＋k·180°<2(α)<90°＋k·180°(k∈Z)．

解法一：A．当k＝2n(n∈Z)时，

45°＋n·360°<2(α)<90°＋n·360°(n∈Z)，即2(α)是第一象限角；

b．当k＝2n＋1(n∈Z)时，

225°＋n·360°<2(α)<270°＋n·360°(n∈Z)，

即2(α)是第三象限角．故2(α)是第一或第三象限角．

解法二：∵45°＋k·180°表示终边为一、三象限角平分线的角，90°＋k·180°(k∈Z)表示终边为y轴的角，

∴45°＋k·180°<2(α)<90°＋k·180°(k∈Z)表示如图中阴影部分图形．即2(α)是第一或第三象限角．

金版点睛

象限角的判定方法

(1)根据图象判定．依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角的终边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系．

(2)将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，在0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．

(3)nα所在象限的判断方法

确定nα终边所在的象限，先求出nα的范围，再直接转化为终边相同的角即可．

(4)n(α)所在象限的判断方法

已知角α所在象限，要确定角n(α)所在象限，有两种方法：

①用不等式表示出角n(α)的范围，然后对k的取值分情况讨论：被n整除；被n除余1；被n除余2；…；被n除余n－1.从而得出结论．

②作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n个区域．从x轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上1,2,3,4.α的终边在第几象限，则标号为几的区域，就是n(α)的终边所落在的区域．如此，n(α)所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出．

　(1)若α为第三象限角，试判断90°－α的终边所在的象限；

(2)若α为第四象限角，试判断2(α)的终边所在的象限．

解　(1)因为α为第三象限角，

所以180°＋k·360°<α<270°＋k·360°，k∈Z，

则－180°－k·360°<90°－α<－90°－k·360°，k∈Z，

所以90°－α的终边在第三象限．

(2)由于α为第四象限角，

即α∈(k·360°－90°，k·360°)(k∈Z)，

所以2(α)∈(k·180°－45°，k·180°)(k∈Z)．

当k＝2n，n∈Z时，2(α)∈(n·360°－45°，n·360°)(n∈Z)，2(α)是第四象限角；

当k＝2n＋1，n∈Z时，2(α)∈(n·360°＋135°，n·360°＋180°)(n∈Z)，2(α)是第二象限角．

综上，可知2(α)的终边所在的象限是第二或第四象限．

题型四  区域角的表示

例4　写出终边落在阴影部分的角的集合．

[解]　设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．

①{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}．

②{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}．

∴角α的集合应当是集合①与②的并集：

{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{α|k·180°＋30°≤α<k·180°＋105°，k∈Z}．

[条件探究]　将本例改为下图，写出角的终边在图中阴影区域的角的集合(包括边界)．

解　(1){α|45°＋k·360°≤α≤90°＋k·360°，k∈Z}∪{α|225°＋k·360°≤α≤270°＋k·360°，k∈Z}＝{α|45°＋k·180°≤α≤90°＋k·180°，k∈Z}．

(2)先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，得{α|－150°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}．

金版点睛

区域角的写法可分三步

(1)按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；

(2)由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角α，β，写出所有与α，β终边相同的角；

(3)用不等式表示区域内的角，组成集合．

　写出终边落在图中阴影区域内(不包括边界)的角的集合．

解　(1)先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，得{α|k· 360°＋135°<α<k·360°＋300°，k∈Z}．

(2){α|k·360°－60°<α<k·360°＋45°，k∈Z}∪{α|k·360°＋120°<α<k·360°＋225°，k∈Z}＝{α|k·180°－60°<α<k·180°＋45°，k∈Z}．

1．－215°是(　　)

A．第一象限角 B．第二象限角

C．第三象限角 D．第四象限角

答案　B

解析　∵－215°＝－360°＋145°，而145°是第二象限角，∴－215°是第二象限角，故选B．

2．下列说法正确的是(　　)

A．终边相同的角一定相等

B．钝角一定是第二象限角

C．第一象限角一定不是负角

D．小于90°的角都是锐角

答案　B

解析　因30°和390°的终边相同，但两个角不相等，故A项错误；钝角一定是第二象限角，故B项正确；因－280°是第一象限角，但此角为负角，故C项错误；因－60°是小于90°的角，但它不是锐角，故D项错误．综上，选B．

3．如果将钟表拨快10分钟，则时针所转成的角度是________度，分针所转成的角度是________度．

答案　－5　－60

解析　将钟表拨快10分钟，则时针按顺时针方向转了10×12×60(360°)＝5°，所转成的角度是－5°；分针按顺时针方向转了10×60(360°)＝60°，所转成的角度是－60°.

4．角α，β的终边关于y轴对称，若α＝30°，则β＝________，α的相反角为________．

答案　150°＋k·360°(k∈Z)　－30°

解析　∵角α，β的终边关于y轴对称，α＝30°，

∴β＝180°－30°＋k·360°＝150°＋k·360°(k∈Z)，α的相反角为－30°.

5．试写出终边在直线y＝－x上的角的集合S，并把S中适合不等式－180°≤α<180°的元素α写出来．

解　终边在直线y＝－x上的角的集合S＝{α|α＝k·360°＋120°，k∈Z)∪{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°＋120°，k∈Z}，其中适合不等式－180°≤α<180°的元素α为－60°，120°.