4.5.1　函数的零点与方程的解

(教师独具内容)

课程标准：1.结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系.2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理．

教学重点：函数零点的概念，函数零点存在定理及其应用．

教学难点：运用函数零点存在定理判断函数零点所在的区间及函数零点的个数.

【知识导学】

知识点一　　　函数零点的概念

对于函数y＝f(x)，把01(□)使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．

函数y＝f(x)的02(□)零点就是方程f(x)＝0的实数解，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的公共点的03(□)横坐标．

注意：函数的零点不是一个点，而是f(x)＝0的实数解．

知识点二　　　方程的解与函数零点的关系

方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)01(□)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴02(□)有公共点．

知识点三　　　函数零点存在定理

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条01(□)连续不断的曲线，且有02(□)f(a)f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内03(□)至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得04(□)f(c)＝0，这个c也就是f(x)＝0的解．

注意：(1)函数y＝f(x)在(a，b)内有零点，f(a)·f(b)＜0不一定成立．

(2)若连续不断的曲线y＝f(x)在区间[a，b]上有f(a)·f(b)＜0，y＝f(x)在(a，b)内一定有零点，但不能确定有几个．

【新知拓展】

(1)一个函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点必须同时满足：①函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f(a)·f(b)<0.这两个条件缺一不可．可从函数y＝x(1)来理解，易知f(－1)·f(1)＝－1×1<0，但显然y＝x(1)在(－1,1)内没有零点．

(2)若函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，且在两端点处的函数值f(a)，f(b)异号，则函数y＝f(x)在(a，b)上的图象至少穿过x轴一次，即方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解C．

(3)函数零点存在定理只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数．如图①②，虽然都有f(a)·f(b)<0，但图①中函数在区间(a，b)内有4个零点，图②中函数在区间(a，b)内仅有1个零点．

(4)函数零点存在定理是不可逆的，因为f(a)·f(b)<0可以推出函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点．但是，已知函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点，不一定推出f(a)·f(b)<0.如图③，虽然在区间(a，b)内函数有零点，但f(a)·f(b)>0.

(5)如果单调函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有唯一的零点，即存在唯一的c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的实数解．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)所有的函数都有零点．(　　)

(2)若方程f(x)＝0有两个不等实根x₁，x₂，则函数y＝f(x)的零点为(x_1,0)，(x_2,0)．(　　)

(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)<0.(　　)

答案　(1)×　(2)×　(3)×

2．做一做(请把正确的答案写在横线上)

(1)函数f(x)＝x²＋3x的零点是________．

(2)若函数f(x)在区间(2,5)上单调递减，且图象是一条连续不断的曲线，f(2)·f(5)<0，则函数f(x)在区间(2,5)上零点的个数是________．

(3)已知函数y＝f(x)的定义域为R，图象连续不断，若f(1)<0，f(1.25)<0，f(1.5)>0，则可以确定零点所在的区间为________．

答案　(1)0和－3　(2)1　(3)(1.25,1.5)

题型一  求函数的零点

例1　判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．

(1)f(x)＝x²＋7x＋6；

(2)f(x)＝1－log₂(x＋3)；

(3)f(x)＝2^x－1－3；

(4)f(x)＝x－2(x2＋4x－12).

[解]　(1)解方程f(x)＝x²＋7x＋6＝0，得x＝－1或x＝－6，所以函数的零点是－1，－6.

(2)解方程f(x)＝1－log₂(x＋3)＝0，得x＝－1，所以函数的零点是－1.

(3)解方程f(x)＝2^x－1－3＝0，得x＝log₂6，所以函数的零点是log₂6.

(4)解方程f(x)＝x－2(x2＋4x－12)＝0，得x＝－6，所以函数的零点为－6.

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求函数零点的方法

函数的零点就是对应方程的解，求函数的零点常有两种方法：

(1)令y＝0，解方程f(x)＝0的解就是函数的零点；

(2)画出函数y＝f(x)的图象，图象与x轴交点的横坐标就是函数的零点．

　若函数f(x)＝x²＋x－a的一个零点是－3，求实数a的值，并求函数f(x)其余的零点．

解　由题意知f(－3)＝0，

即(－3)²－3－a＝0，a＝6，

∴f(x)＝x²＋x－6.

解方程x²＋x－6＝0，得x＝－3或2.

∴函数f(x)其余的零点是2.

题型二  判断函数零点所在的区间

例2　若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　)

A．(a，b)和(b，c)内

B．(－∞，a)和(a，b)内

C．(b，c)和(c，＋∞)内

D．(－∞，a)和(c，＋∞)内

[解析]　∵f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)，∴f(a)＝(a－b)(a－c)，f(b)＝(b－c)(b－a)，f(c)＝(c－a)(c－b)，∵a<b<c，∴f(a)>0，f(b)<0，f(c)>0，∴f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内．

[答案]　A

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确定函数零点所在区间的方法

(1)判断一个函数是否有零点，首先看函数f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，若连续，看是否存在f(a)·f(b)<0，若存在，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．

(2)对于连续函数f(x)，若存在f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)内有零点，若只有一个零点，则称此零点为变号零点，反过来，若f(a)与f(b)不变号，而是同号，即不满足f(a)·f(b)<0，也不能说函数在(a，b)内无零点，如f(x)＝x²，f(－1)·f(1)＝1>0，但0是f(x)的零点．

　根据表格中的数据，可以判定方程e^x－x－2＝0的一个解所在的最小区间为________．

答案　(1,2)

解析　解题的关键是判断e^x与x＋2的差的符号，构造函数f(x)＝e^x－x－2，将求方程e^x－x－2＝0的解所在的区间转化为求函数的零点问题．令f(x)＝e^x－x－2，由表格中数据知f(－1)＝0.37－1＝－0.63<0，f(0)＝1－2＝－1<0，f(1)＝2.72－3＝－0.28<0，f(2)＝7.39－4＝3.39>0，f(3)＝20.09－5＝15.09>0，由于f(1)·f(2)<0，所以根据表格可知，解所在的最小区间为(1,2).

题型三  判断函数零点的个数

例3　f(x)＝x2－1，x>0(x＋2，x<0，)的零点个数是(　　)

A．0 B．1  

C．2 D．3

[解析]　解法一：方程x＋2＝0(x<0)的根为x＝－2，方程x²－1＝0(x>0)的根为x＝1，所以函数f(x)有2个零点：－2与1.

解法二：画出函数

f(x)＝x2－1，x>0(x＋2，x<0，)的图象，如图所示，观察图象可知，f(x)的图象与x轴有2个交点，

所以函数f(x)有2个零点．

[答案]　C

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判断函数零点个数的方法

(1)直接求出函数的零点进行判断．

(2)结合函数图象进行判断．

(3)借助函数的单调性进行判断．若函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且在区间(a，b)上单调，满足f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在区间(a，b)上有且仅有一个零点，如图所示．

　已知0<a<1，则函数y＝a^|x|－|log_ax|的零点的个数为(　　)

A．1 B．2  

C．3 D．4

答案　B

解析　函数y＝a^|x|－|log_ax|(0<a<1)的零点的个数即方程a^|x|＝|log_ax|(0<a<1)的解的个数，也就是函数f(x)＝a^|x|(0<a<1)与g(x)＝|log_ax|(0<a<1)的图象的交点的个数．画出函数f(x)＝a^|x|(0<a<1)与g(x)＝|log_ax|(0<a<1)的图象，如图所示，观察可得函数f(x)＝a^|x|(0<a<1)与g(x)＝|log_ax|(0<a<1)的图象的交点的个数为2，从而函数y＝a^|x|－|log_ax|的零点的个数为2.

题型四  函数零点的应用

例4　已知关于x的方程x²－2ax＋4＝0，在下列条件下，求实数a的取值范围．

(1)一个根大于1，一个根小于1；

(2)一个根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内．

[解]　(1)方程x²－2ax＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，设f(x)＝x²－2ax＋4，结合二次函数的图象与性质及零点存在定理得f(1)＝5－2a<0，解得a>2(5).

(2)方程x²－2ax＋4＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内，结合二次函数的图象与性质及零点存在定理，得()()()()f8＝68－16a>0，(f6＝40－12a<0，)解得3(10)<a<4(17).

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解决根的分布问题的注意事项及方法

(1)解决有关根的分布问题应注意以下几点：

①首先画出符合题意的草图，转化为函数问题．

②结合草图考虑四个方面：A．Δ与0的大小；B．对称轴与所给端点值的关系；C．端点的函数值与零的关系；D．开口方向．

③写出由题意得到的不等式并检验条件的完备性．

(2)解决此类问题可设出方程对应的函数，根据函数的零点所在的区间分析区间端点函数值的符号，建立不等式，使问题得解．当函数解析式中含有参数时，要注意分类讨论．

　函数f(x)＝ax²－2x＋1，若y＝f(x)在区间2(1)内有零点，则实数a的取值范围为________．

答案　(－∞，0]

解析　当x＝0时，f(0)＝1≠0，当x≠0时，由f(x)＝ax²－2x＋1＝0，可得a＝－x2(1)＋x(2)＝－－1(1)²＋1.若f(x)在2(1)内有零点，则f(x)＝0在区间2(1)内有解，当－2(1)≤x<0或0<x≤2(1)时，可得a＝－x2(1)＋x(2)＝－－1(1)²＋1，由x(1)∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，可求得a≤0，所以实数a的取值范围为(－∞，0]．

1．函数y＝4x－2的零点是(　　)

A．2 B．(－2,0)  

C．，0(1) D．2(1)

答案　D

解析　令y＝4x－2＝0，得x＝2(1).∴函数y＝4x－2的零点为2(1).

2．函数f(x)＝e^x＋x－2的零点所在的一个区间是(　　)

A．(－2，－1) B．(－1,0)

C．(0,1) D．(1,2)

答案　C

解析　因为函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，又f(－2)＝e^－2－4<0，f(－1)＝e^－1－3<0，f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，f(2)＝e²>0，所以f(0)·f(1)<0，故函数的零点所在的一个区间是(0,1)．

3．方程x³－x－1＝0在[1,1.5]上的实数解有(　　)

A．3个 B．2个

C．至少1个 D．0个

答案　C

解析　令f(x)＝x³－x－1，则f(1)＝－1<0，f(1.5)＝1.5³－1.5－1＝1.5³－2.5>0，故选C．

4．已知函数f(x)的图象是不间断的，且有如下的x，f(x)对应值表：

则函数f(x)在区间[－2,2]内的零点个数至少为__________．

答案　3

解析　由f(－2)·f(－1.5)<0，f(－0.5)·f(0)<0，f(0)·f(0.5)<0可知，函数f(x)在区间[－2,2]内至少有3个零点．

5．已知函数f(x)＝x²－2x－3，x∈[－1,4]．

(1)画出函数y＝f(x)的图象，并写出其值域；

(2)当m为何值时，函数g(x)＝f(x)＋m在[－1,4]上有两个零点？

解　(1)依题意，得f(x)＝(x－1)²－4，x∈[－1,4]，其图象如图所示．

由图可知，函数f(x)的值域为[－4,5]．

(2)∵函数g(x)＝f(x)＋m在[－1,4]上有两个零点．

∴方程f(x)＝－m在x∈[－1,4]上有两相异的实数根，即函数y＝f(x)与y＝－m的图象有两个交点．

由(1)所作图象可知，－4<－m≤0，∴0≤m<4.

∴当0≤m<4时，函数y＝f(x)与y＝－m的图象有两个交点，

即当0≤m<4时，函数g(x)＝f(x)＋m在[－1,4]上有两个零点．