4.3.2　对数的运算

(教师独具内容)

课程标准：掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立的条件．掌握换底公式并能用换底公式进行求值、化简．

教学重点：对数的运算性质、换底公式．

教学难点：灵活运用对数运算性质和换底公式.

【知识导学】

知识点一　对数运算性质

如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么，

(1)log_a(MN)＝01(□)log_aM＋log_aN；

(2)log_aN(M)＝02(□)log_aM－log_aN；

(3)log_aMⁿ＝03(□)nlog_aM(n∈R)．

知识点二　换底公式

(1)对数的换底公式：01(□)log_ab＝logca(logcb)(a>0且a≠1；c>0且c≠1；b>0)．

(2)三个较为常用的推论

①02(□)log_ab·log_bc·log_ca＝1(a>0，b>0，c>0，且均不为1)；

②03(□)log_ab＝logba(1)(a>0，b>0，且均不为1)；

③log_ambⁿ＝04(□)m(n)log_ab(a>0，b>0，且均不为1，m≠0)．

【新知拓展】

(1)推广：log_a(N₁N₂…N_k)＝log_aN₁＋log_aN₂＋…＋log_aN_k(N_k＞0，k∈N^*)．

(2)对数运算性质推导的基本方法：利用对数的定义将对数问题转化为指数问题，再利用幂的运算性质，进行转化变形，然后把它还原为对数问题．

(3)对数运算性质的实质就是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘运算，使用时要注意公式的适用条件．

(4)只有当式子中所有的对数都有意义时，对数的运算性质才能成立，注意下列式子不成立：log_a(MN)＝log_aM·log_aN，log_a(M±N)＝log_aM±log_aN，log_aN(M)＝logaN(logaM)，log_aMⁿ＝(log_aM)ⁿ.

(5)逆向运用对数的运算性质，可以将几个对数式化为一个对数式，有利于化简，如：lg 5＋lg 2＝lg 10＝1.

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)两个正数的积、商的对数可以化为它们对数的和、差．(　　)

(2)log_a(xy)＝log_ax·log_ay.(　　)

(3)log₂(－5)²＝2log₂(－5)．(　　)

(4)由换底公式可得log_ab＝()()log－2a(log－2b).(　　)

答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×

2．做一做(请把正确的答案写在横线上)

(1)log₃25－log₃5＝________.

(2)lg 8＋lg 5³＝________.

(3)若lg 5＝a，lg 7＝b，用a，b表示log₇5＝________.

答案　(1)log₃5　(2)3　(3)b(a)

题型一  对数运算性质的应用

例1　若a>0，且a≠1，x>y>0，n∈N^*，则下列各式：

①log_ax·log_ay＝log_a(x＋y)；

②log_ax－log_ay＝log_a(x－y)；

③log_a(xy)＝log_ax·log_ay；④logay(logax)＝log_ay(x)；

⑤(log_ax)ⁿ＝log_axⁿ；⑥log_ax＝－log_ax(1)；

⑦n(logax)＝log_ax(n)；⑧log_ax＋y(x－y)＝－log_ax－y(x＋y).

其中式子成立的个数为(　　)

A．3  B．4  C．5  D．6

[解析]　对于①，取x＝4，y＝2，a＝2，则log₂4·log₂2＝2×1＝2，而log₂(4＋2)＝log₂6≠2，∴log_ax·log_ay＝log_a(x＋y)不成立；

对于②，取x＝8，y＝4，a＝2，则log₂8－log₂4＝1≠log₂(8－4)＝2，∴log_ax－log_ay＝log_a(x－y)不成立；

对于③，取x＝4，y＝2，a＝2，则log₂(4×2)＝log₂8＝3，而log₂4·log₂2＝2×1＝2≠3，∴log_a(xy)＝log_ax·log_ay不成立；

对于④，取x＝4，y＝2，a＝2，则log22(log24)＝2≠log₂2(4)＝1，∴logay(logax)＝log_ay(x)不成立；

对于⑤，取x＝4，a＝2，n＝3，则(log₂4)³＝8≠log₂4³＝6，

∴(log_ax)ⁿ＝log_axⁿ不成立；

⑥成立，由于－log_ax(1)＝－log_ax^－1＝log_a(x^－1)^－1＝log_ax；

⑦成立，由于log_ax(n)＝log_axn(1)n(1)＝n(1)log_ax；

⑧成立，由于log_ax＋y(x－y)＝log_ax－y(x＋y)^－1＝－log_ax－y(x＋y).

[答案]　A

例2　化简：(1)4lg 2＋3lg 5－lg 5(1)；

(2)lg 1.2(10)；

(3)2log₃2－log₃9(32)＋log₃8－5^log53；

(4)log₂＋log₂.

[解]　(1)原式＝lg 5(1)＝lg 10⁴＝4.

＝()lg 3＋2lg 2－1(lg 3＋2lg 2－1)＝2(3).

(3)原式＝2log₃2－(log₃32－log₃9)＋3log₃2－3＝5log₃2－(5log₃2－2)－3＝－1.

(4)原式＝log₂(·)＝log₂4＝2.

金版点睛

对数式化简与求值的原则和方法

(1)基本原则

对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．

(2)两种常用的方法

①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；

②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．

(3)要注意一些常见的结论，如lg 2＋lg 5＝1，lg a(1)＝－lg a等．

　计算：

(1)lg 25＋3(2)lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)²；

(2)log₅35－2log₅3(7)＋log₅7－log₅1.8；

(3)log₂48(7)＋log₂12－2(1)log₂42－1.

解　(1)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)²＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)²＝2＋(lg 10)²＝2＋1＝3.

(2)原式＝log₅(5×7)－2(log₅7－log₅3)＋log₅7－log₅5(9)＝log₅5＋log₅7－2log₅7＋2log₅3＋log₅7－2log₅3＋log₅5＝2.

(3)原式＝log₂48(7)＋log₂12－log₂－log₂2

＝log₂×2(7×12)＝log₂2(1)

＝log₂22(3)2(3)＝－2(3).

题型二  换底公式的应用

例3　计算：(1)(log₄3＋log₈3)lg 3(lg 2)；

(2)(log₂125＋log₄25＋log₈5)(log₅2＋log₂₅4＋log₁₂₅8)．

[解]　(1)原式＝lg 8(lg 3)lg 3(lg 2)＝2lg 2(lg 3)·lg 3(lg 2)＋3lg 2(lg 3)·lg 3(lg 2)＝2(1)＋3(1)＝6(5).

(2)解法一：原式＝

log28(log25)log5125(log58)

＝3log22(log25)3log55(3log52)

＝3(1)log₂5·3log₅2

＝13log₂5·log25(log22)＝13.

解法二：原式＝

lg 8(lg 5)lg 125(lg 8)

＝3lg 2(lg 5)3lg 5(3lg 2)

＝3lg 2(13lg 5)·lg 5(3lg 2)＝13.

解法三：原式＝

(log₂5³＋log₂₂5²＋log₂₃5¹)(log₅2＋log₅₂2²＋log₅₃2³)

＝log25(1)(log₅2＋log₅2＋log₅2)

＝3(1)log₂5·3log₅2

＝3(13)×3

＝13.

金版点睛

换底公式在求值中的应用

利用对数的换底公式能够将不同底的对数化为常用对数或自然对数或同底的对数，即可用对数的运算性质来解决对数的求值问题，同时要注意换底公式的逆用和变形应用．

　计算：

(1)log₂3×log₃4×log₄5×log₅6×log₆7×log₇8；

(2)4(3)＋log₂(－ )．

解　(1)原式＝lg 2(lg 3)×lg 3(lg 4)×lg 4(lg 5)×lg 5(lg 6)×lg 6(lg 7)×lg 7(lg 8)＝lg 2(lg 8)＝lg 2(3lg 2)＝3.

题型三  对数式的条件求值问题

例4　已知log₁₈9＝a,18^b＝5，试用a，b表示log₃₆45.

[解]　解法一：∵18^b＝5，∴log₁₈5＝b，

又log₁₈9＝a，

∴log₃₆45＝log1836(log1845)＝()9(182)＝2log1818－log189(log189＋log185)＝2－a(a＋b).

解法二：∵log₁₈9＝lg 18(lg 9)＝a，∴lg 9＝alg 18，

同理得lg 5＝blg 18，

∴log₃₆45＝lg 36(lg 45)＝()9(182)＝2lg 18－lg 9(lg 9＋lg 5)

＝2lg 18－alg 18(alg 18＋blg 18)＝2－a(a＋b).

解法三：∵log₁₈9＝a，∴log₁₈2(18)＝1－log₁₈2＝a，

∴log₁₈2＝1－a.

∵18^b＝5，∴log₁₈5＝b，

∴log₃₆45＝log1836(log1845)＝1＋log182(log189＋log185)＝2－a(a＋b).

解法四：∵log₁₈9＝a，∴18^a＝9.

又18^b＝5，∴45＝5×9＝18^b·18^a＝18^a＋b.

令log₃₆45＝x，则36^x＝45＝18^a＋b，

即3(18)^x＝18^a＋b,18^2x＝9^x·18^a＋b.

∵18^a＝9，∴18^2x＝(18^a)^x·18^a＋b＝18^ax·18^a＋b＝18^ax＋a＋b.

∴2x＝ax＋a＋b，∴x＝2－a(a＋b)，即log₃₆45＝2－a(a＋b).

金版点睛

指数式与对数式之间的转化是解题关键

对数式的证明和对数式的化简的基本思路是一致的，就是根据对数的运算性质和换底公式对对数式化简，此题巧妙引入辅助量，顺利完成指数与对数之间的转化是解题的关键．

带有附加条件的代数式求值问题，需要对已知条件和所求式子进行化简转化，原则是化为同底的对数，以便利用对数的运算性质．要整体把握对数式的结构特征，灵活运用指数式与对数式的互化．

　已知a，b，c是不等于1的正数，且a^x＝b^y＝c^z，x(1)＋y(1)＋z(1)＝0，求abc的值．

解　解法一：设a^x＝b^y＝c^z＝t，∴x＝log_at，y＝log_bt，z＝log_ct，

∴x(1)＋y(1)＋z(1)＝logat(1)＋logbt(1)＋logct(1)＝log_ta＋log_tb＋log_tc＝log_t(abc)＝0，

∴abc＝t⁰＝1，即abc＝1.

解法二：∵a，b，c是不等于1的正数，且a^x＝b^y＝c^z，

∴令a^x＝b^y＝c^z＝t>0，∴x＝lg a(lg t)，y＝lg b(lg t)，z＝lg c(lg t)，

∴x(1)＋y(1)＋z(1)＝lg t(lg a)＋lg t(lg b)＋lg t(lg c)＝lg t(lg a＋lg b＋lg c).

∵x(1)＋y(1)＋z(1)＝0，且lg t≠0，

∴lg a＋lg b＋lg c ＝lg (abc)＝0，∴abc＝1.

1．若a>0，且a≠1，x∈R，y∈R，且xy>0，则下列各式不恒成立的是(　　)

①log_ax²＝2log_ax；②log_ax²＝2log_a|x|；③log_a(xy)＝log_ax＋log_ay；④log_a(xy)＝log_a|x|＋log_a|y|.

A．②④  B．①③  C．①④  D．②③

答案　B

解析　∵xy>0，∴①中若x<0则不成立；③中若x<0，y<0也不成立，故选B.

2．计算log₉16×log₈81的值为(　　)

A．18  B.18(1)  C.3(8)  D.8(3)

答案　C

解析　log₉16×log₈81＝lg 9(lg 16)×lg 8(lg 81)＝2lg 3(4lg 2)×3lg 2(4lg 3)＝3(8)，故选C.

3．已知lg 2＝a，lg 3＝b，则log₃6＝(　　)

A.a(a＋b)  B.b(a＋b)  C.a＋b(a)  D.a＋b(b)

答案　B

解析　log₃6＝lg 3(lg 6)＝lg 3(lg 2＋lg 3)＝b(a＋b)，故选B.

4．已知log_a2＝m，log_a3＝n，则log_a18＝________(用m，n表示)．

答案　m＋2n

解析　log_a18＝log_a(2×3²)＝log_a2＋log_a3²＝log_a2＋2log_a3＝m＋2n.