4.2.1　指数函数的概念

4.2.2　指数函数的图象和性质

第1课时　指数函数的概念及其图象和性质

(教师独具内容)

课程标准：1.了解引入指数函数的背景，理解指数函数的概念和意义.2.能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象.3.探索并理解指数函数的单调性、定义域和值域及图象与参数的关系．

教学重点：1.理解指数函数的概念.2.借助指数函数的图象掌握指数函数的性质，在“制图与识图”过程中体会数形结合思想.3.指数函数性质的一些简单应用．

教学难点：1.指数函数的图象与性质.2.底数a对函数的影响．

【知识导学】

知识点一　指数函数的定义

01(□)函数y＝a^x(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.

知识点二　指数增长模型

在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝01(□)N(1＋p)^x(x∈N)．形如y＝ka^x(k∈R，且k≠0；a＞0，且a≠1)的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型．

知识点三　指数函数的图象和性质

【新知拓展】

(1)由指数函数y＝a^x(a>0，且a≠1)的性质知，指数函数y＝a^x(a>0，且a≠1)的图象恒过点(0,1)，(1，a)，a(1)，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数y＝a^x(a>0，且a≠1)的图象．

(2)底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a>1，还是0<a<1，在第一象限内底数越大，函数图象越靠近y轴．

当a>b>1时，

①若x>0，则a^x>b^x>1；

②若x<0，则1>b^x>a^x>0.

当1>a>b>0时，

①若x>0，则1>a^x>b^x>0；

②若x<0，则b^x>a^x>1.

(3)指数函数的图象都经过点(0,1)，且图象都在x轴上方．

(4)当a>1时，x→－∞，y→0；当0<a<1时，x→＋∞，y→0.(其中“x→＋∞”的意义是“x趋近于正无穷大”)

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)指数函数的图象一定在x轴的上方．(　　)

(2)当a>1时，对于任意x∈R总有a^x>1.(　　)

(3)函数f(x)＝2^－x在R上是增函数．(　　)

答案　(1)√　(2)×　(3)×

2．做一做(请把正确的答案写在横线上)

(1)若f(x)＝(a²－3)a^x是指数函数，则a＝________.

(2)若函数f(x)＝a^x(a>0，且a≠1)的图象过点(2,9)，则f(x)＝________.

(3)函数y＝2的定义域为________，值域为________．

答案　(1)2　(2)3^x　(3)(－∞，0]　[1,2)

题型一  指数函数的概念

例1　指出下列哪些是指数函数．

(1)y＝4^x；(2)y＝x⁴；(3)y＝－4^x；(4)y＝(－4)^x；

(5)y＝π^x；(6)y＝4x²；(7)y＝x^x；(8)y＝(2a－1)^x，且a≠1(1).

[解]　(2)是四次函数；(3)是－1与4^x的乘积；(4)中底数－4＜0；(6)是二次函数；(7)中底数x不是常数．它们都不符合指数函数的定义，故不是指数函数．综上可知，(1)(5)(8)是指数函数．

金版点睛

判断一个函数是否为指数函数，只需判断其解析式是否符合y＝a^x(a＞0，且a≠1)这一形式即可.若符合，则函数为指数函数；否则就不是指数函数.

　若函数y＝(a²－3a＋3)a^x是指数函数，则a＝________.

答案　2

解析　因为函数y＝(a²－3a＋3)a^x是指数函数，

所以a≠1，(a＞0，)解得a≠1，(a＞0，)所以a＝2.

题型二  指数函数的图象问题

例2　(1)如图是指数函数①y＝a^x，②y＝b^x，③y＝c^x，④y＝d^x的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为(　　)

A．a<b<1<c<d  B．b<a<1<d<c

C．1<a<b<c<d  D．a<b<1<d<c

(2)函数y＝a^x－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点________．

[解析]　(1)解法一：由图象可知③④的底数必大于1，①②的底数必小于1.

作直线x＝1，在第一象限内直线x＝1与各曲线的交点的纵坐标即各指数函数的底数，则1<d<c，b<a<1，从而可知a，b，c，d与1的大小关系为b<a<1<d<c.

解法二：根据图象可以先分两类：

③④的底数大于1，①②的底数小于1，再由③④比较c，d的大小，由①②比较a，b的大小．当指数函数的底数大于1时，图象上升，且底数越大时图象向上越靠近y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近x轴．

(2)解法一：因为指数函数y＝a^x(a>0，且a≠1)的图象过定点(0,1)，所以在函数y＝a^x－3＋3中，令x＝3，得y＝1＋3＝4，即函数的图象过定点(3,4)．

解法二：将原函数变形，得y－3＝a^x－3，把y－3看成x－3的指数函数，所以当x－3＝0时，y－3＝1，即x＝3时，y＝4，所以原函数的图象过定点(3,4)．

[答案]　(1)B　(2)(3,4)

金版点睛

1．识别指数函数图象问题的注意点

(1)根据图象“上升”或“下降”确定底数a>1或0<a<1；

(2)在y轴右侧，指数函数的图象从下到上相应的底数由小到大；在y轴左侧，指数函数的图象从下到上相应的底数由大到小；

(3)根据“左加右减，上加下减”的原则，确定图象的平移变换，从而确定指数型函数的图象与两坐标轴的交点位置．

2．解决指数型函数图象过定点问题的思路

指数函数y＝a^x(a>0，且a≠1)的图象过定点(0,1)，据此，可解决形如y＝k·a^x＋c＋b(k≠0，a>0，且a≠1)的函数图象过定点的问题，即令x＝－c，得y＝k＋b，函数图象过定点(－c，k＋b)．

　(1)二次函数y＝ax²＋bx与指数函数y＝a(b)^x的图象可能是(　　)

(2)函数y＝a^2x＋1＋1(a>0，且a≠1)的图象过定点________．

答案　(1)A　(2)，2(1)

解析　(1)二次函数y＝a2a(b)²－4a(b2)，其图象的顶点坐标为4a(b2)，由指数函数的图象知0<a(b)<1，所以－2(1)<－2a(b)<0，再观察四个选项，只有A中的抛物线的顶点的横坐标在－2(1)和0之间．

(2)令2x＋1＝0得x＝－2(1)，y＝2，

所以函数图象恒过点，2(1).

题型三  与指数函数有关的定义域和值域问题

例3　求下列函数的定义域和值域：

(1)y＝；(2)y＝2x－4(1)x－4(1)；(3)y＝3(2).

[解]　(1)要使函数式有意义，则1－3^x≥0，即3^x≤1＝3⁰，因为函数y＝3^x在R上是增函数，所以x≤0.故函数y＝的定义域为(－∞，0]．

因为x≤0，所以0<3^x≤1，所以0≤1－3^x<1.

所以 ∈[0,1)，即函数y＝ 的值域为[0,1)．

(2)要使函数式有意义，则x－4≠0，解得x≠4.

所以函数y＝2x－4(1)x－4(1)的定义域为{x|x≠4}．

因为x－4(1)≠0，所以2x－4(1)x－4(1)≠1，即函数y＝2x－4(1)x－4(1)的值域为{y|y>0，且y≠1}．

(3)要使函数式有意义，则－|x|≥0，解得x＝0.

所以函数y＝3(2)的定义域为{x|x＝0}．

因为x＝0，所以3(2)＝3(2)⁰＝1，

即函数y＝3(2)的值域为{y|y＝1}．

金版点睛

求指数型函数的定义域和值域的一般方法

(1)求指数型函数的定义域时，先观察函数是y＝a^x型还是y＝a^f(x)型．

①由于指数函数y＝a^x(a>0，且a≠1)的定义域是R，所以函数y＝a^f(x)的定义域与f(x)的定义域相同.

②对于函数y＝f(a^x)(a>0，且a≠1)的定义域，关键是找出t＝a^x的值域的哪些部分在y＝f(t)的定义域中.

③求y＝())型函数的定义域时，往往转化为解指数不等式(组).

(2)求与指数函数有关的函数的值域时，要注意指数函数的值域为(0，＋∞)，还需注意：在求形如y＝a^f(x)(a>0，且a≠1)的函数值域时，先求得f(x)的值域(即函数t＝f(x)中t的范围)，再根据y＝a^t的单调性，列出指数不等式(组)，得出a^t的范围，即y＝a^f(x)的值域.

　求下列函数的定义域和值域：

(1)y＝0.3x－1(1)x－1(1)；(2)y＝3；

(3)y＝2(1)^x2－2x－3. 

解　(1)由x－1≠0得x≠1，所以函数的定义域为{x|x≠1}．

由x－1(1)≠0得y≠1，

所以函数的值域为{y|y>0且y≠1}．

(2)由5x－1≥0得x≥5(1)，

所以函数的定义域为5(1).

由≥0，得y≥1，

所以函数的值域为{y|y≥1}．

(3)定义域为R.

∵x²－2x－3＝(x－1)²－4≥－4，

∴2(1)^x2－2x－3≤2(1)^－4＝16.

又∵2(1)^x2－2x－3>0，

∴函数y＝2(1)^x2－2x－3的值域为(0,16]．

1．若f(x)满足对任意的实数a，b都有f(a＋b)＝f(a)·f(b)且f(1)＝2，则()()f1(f2)＋()()f3(f4)＋()()f5(f6)＋…＋()()f2019(f2020)＝(　　)

A．1010  B．2020  C．2019  D．1009

答案　B

解析　不妨设f(x)＝2^x，则()()f1(f2)＝()()f3(f4)＝…＝()()f2019(f2020)＝2，所以原式＝1010×2＝2020.

2．若函数y＝(1－2a)^x是实数集R上的增函数，则实数a的取值范围为(　　)

A.，＋∞(1)   B．(－∞，0)

C.2(1)   D.2(1)

答案　B

解析　由题意知，此函数为指数函数，且为实数集R上的增函数，所以底数1－2a>1，解得a<0.

3．若函数y＝ 的定义域是(－∞，0]，则a的取值范围为(　　)

A．a>0   B．a<1

C．0<a<1   D．a≠1

答案　C

解析　由a^x－1≥0，得a^x≥a⁰.

∵函数的定义域为(－∞，0]，∴0<a<1.

4．已知1>n>m>0，则指数函数①y＝m^x，②y＝n^x的图象为(　　)

答案　C

解析　由于0<m<n<1，所以y＝m^x与y＝n^x都是减函数，故排除A，B；作直线x＝1与两条曲线相交，交点在下面的是函数y＝m^x的图象，故选C.

5．已知函数f(x)＝a^x－1(x≥0)的图象经过点2(1)，其中a>0，且a≠1.

(1)求a的值；

(2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域．

解　(1)因为函数图象经过点2(1)，

所以a^2－1＝2(1)，则a＝2(1).

(2)由(1)得f(x)＝2(1)^x－1(x≥0)，

由x≥0，得x－1≥－1，

于是0<2(1)^x－1≤2(1)^－1＝2.

所以所求函数的值域为(0,2]．