(教师独具内容)

课程标准：1.理解子集、真子集的概念，能识别给定集合的子集.2.理解两个集合包含与相等的含义，能用子集的观点解释两个集合的相等关系．

教学重点：1.子集、真子集定义的理解.2.写出给定集合的子集.3.两个集合之间关系的判定.4.用子集观点解释两个集合的相等关系．

教学难点：1.两个集合之间关系的判定.2.一些关系符号(⊆，⊇，，，∈，∉)的准确使用.3.具体问题中易忽视空集的情况.

【知识导学】

知识点一　　 子集

一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素01(□)都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的02(□)子集，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)．

注意：(1)子集是刻画两个集合之间关系的，它反映的是局部与整体之间的关系(而元素与集合之间的关系是个体与整体之间的关系)．

(2)并不是任意两个集合之间都具有包含关系．例如：A＝{1,2}，B＝{1,3}，因为2∈A，但2∉B，所以A不是B的子集；同理，因为3∈B，但3∉A，所以B也不是A的子集．

(3)子集有下列两个性质：

①自反性：任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A；

②传递性：对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C.

知识点二　　　Venn图

为了直观地表示集合间的关系，常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为01(□)Venn图．因此，A⊆B可用02(□)Venn图表示为

知识点三　　　集合相等

一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B01(□)相等，记作A＝B.

也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.

很明显，若两个集合相等，则它们的元素完全相同；若集合A与B中有不相同的元素，则这两个集合不相等，可记为A≠B.

知识点四　　　真子集

如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的01(□)真子集(proper subset)，记作02(□)AB(或BA)．

从真子集的定义可以看出，要想证明A是B的真子集，需要两步：一是证明03(□)A⊆B(即A中的任何元素都属于B)，二是证明04(□)A≠B(即B中的元素不是都属于A，或者说B中至少有一个元素不属于A)．

知识点五　　　空集

一般地，我们把不含任何元素的集合叫做01(□)空集，记为02(□)∅，并规定：03(□)空集是任何集合的子集．

在这个规定的基础上，结合子集和真子集的有关概念，可以得到：

(1)空集04(□)只有一个子集，即05(□)它本身；

(2)空集是06(□)任何非空集合的真子集．

【新知拓展】

1．对子集、真子集有关概念的理解

(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，这是判断A⊆B的常用方法．

(2)不能简单地把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”．因为若A＝∅时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素．

(3)在真子集的定义中，AB首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A.

2．集合子集的个数

求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集．

集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2ⁿ个子集，有(2ⁿ－1)个真子集，有(2ⁿ－2)个非空真子集．写集合的子集时，空集和集合本身易漏掉．

3．0，{0}，∅，{∅}的关系

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若A⊆B，则B中至少有一个元素不属于A.(　　)

(2)若A⊆B，则要么AB，要么A＝B.(　　)

(3)空集没有真子集．(　　)

(4)若A⊆B，则B不会是空集．(　　)

(5)若A＝B，则必有A⊆B.(　　)

答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　(5)√

2．做一做(请把正确的答案写在横线上)

(1)用适当的符号(⊆，⊇，，，＝)填空：

N^*________N，R________Q，

{x|x²＝1}________{－1,1}，

{(x，y)|x＋y＝1}________()x－y＝0(x＋y＝1，).

(2)给出下列集合：A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是菱形}，D＝{x|x是正方形}，它们的关系可以表示为________________．

答案　(1)　　＝　　(2)DBA，DCA

题型一  判断集合之间的关系

例1　判断下列各组集合之间的关系：

(1)A＝{1,2,4}，B＝{x|x是8的正约数}；

(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是有一个内角是60°的等腰三角形}；

(3)A＝{x|x＝2n－1，n∈N^*}，B＝{x|x＝2n＋1，n∈N^*}．

[解]　(1)集合A中的元素1,2,4都是8的正约数，从而这三个元素都属于B，即A⊆B；但B中的元素8不属于A，从而A≠B，所以AB.

(2)等边三角形都是有一个内角是60°的等腰三角形，即A⊆B；有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形，即B⊆A，所以A＝B.

(3)解法一：两个集合都表示一些正奇数组成的集合，但由于n∈N^*，因此集合A含有元素“1”，而集合B不含元素“1”，故BA.

解法二：由列举法知A＝{1,3,5,7，…}，B＝{3,5,7,9，…}，所以BA.

金版点睛

集合之间的关系是由两集合中元素的关系确定的，因此，要判定集合之间的关系，必须根据集合的表示方法，弄清集合中的元素是什么，再根据元素之间的关系给出结果；很明显当AB或者A＝B时，不宜表示为A⊆B.

　例1中(3)，两集合中条件“n∈N^*”改为n∈Z，结果如何？

解　A＝B.

题型二  写出集合的子集

例2　写出集合{a，b，c}的所有子集．

[解]　因为集合{a，b，c}中有3个元素，所以其子集中的元素个数只能是0,1,2,3.

有0个元素的子集：∅；

有1个元素的子集：{a}，{b}，{c}；

有2个元素的子集：{a，b}，{a，c}，{b，c}；

有3个元素的子集：{a，b，c}．

因此集合{a，b，c}的所有子集为∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}．

金版点睛

本例采用分类列举的方法，分类的标准是子集中元素的个数，这样做，所写的子集不重不漏，是一种思路清晰、条理明确的解题方法.

　写出集合{1,2,3}的所有子集．

解　∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}.

题型三  有限集子集个数探究

例3　令集合A₀＝∅，集合A_n＝{a₁，a₂，a₃，…，a_n}(n∈N^*)，试探究集合A_n子集的个数．

[解]　为了方便，不妨设集合A_n的子集数为m(A_n)．我们把A_n的子集分为两类，第一类：含元素a_n；第二类：不含元素a_n.易知，第二类就是集合A_n－1的子集，且第一类和第二类同样多．因此，m(A_n)＝2m(A_n－1)．从而，m(A_n－1)＝2m(A_n－2)，…，m(A₁)＝2m(A₀)，易知m(A₀)＝1.所以m(A_n)＝2m(A_n－1)＝2²m(A_n－2)＝2³m(A_n－3)＝…＝2ⁿm(A₀)＝2ⁿ.

金版点睛

若一组对象分为甲、乙两类，当两类对象同样多时，我们只要知道其中一类对象的个数，也就知道了另一类对象的个数，从而也就知道了这组对象的总个数.“同样多”是一种一一对应的观点.

如下例：

注意：如果非空集合A中有n(n∈N^*)个元素，那么集合A的子集有2ⁿ个，真子集有(2ⁿ－1)个，非空真子集有(2ⁿ－2)个．

　满足{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}的集合M有多少个？

解　由{1,2}M可知，M中必定有1,2两个元素，且至少还有异于1,2的“其他”一个元素；由M⊆{1,2,3,4,5}可知，上面所说的“其他”应当来自于3,4,5这三个数：可以是其中的1个(三种情况)，2个(三种情况)，3个(一种情况)．故满足条件的集合M有7个(也就是集合{3,4,5}的非空子集的个数).

题型四  含参问题探究

例4　已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．若BA，求实数m的取值范围．

[解]　①当B≠∅时，如图所示：

∴2m－1≥m＋1(2m－1<5，)或2m－1≥m＋1，(2m－1≤5，)

解这两个不等式组，得2≤m≤3.

②当B＝∅时，由m＋1>2m－1，得m<2.综上可得，m的取值范围是{m|m≤3}．

金版点睛

本例的难点是解读集合B，事实上，集合B就是不等式组x≤2m－1(x≥m＋1，)

的解集(只是写法不同)，易知当m＋1>2m－1，即m<2时，不等式组无解，即B＝∅；当m＝2时，B＝{3}；当m>2时，从几何角度讲，集合B是数轴上一条变端点、变长度的线段.

　已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1<x<m＋1}，且B⊆A.求实数m的取值范围．

解　B⊆A，分两种情况考虑：

①当B＝∅时，m＋1≤2m－1，

解得m≥2.

②当B≠∅时，有2m－1<m＋1，(m＋1≤4，)

解得－1≤m<2，

综上得实数m的取值范围为{m|m≥－1}．

1．下列说法：

①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若∅A，则A≠∅.其中正确的有(　　)

A．0个   B．1个  

C．2个   D．3个

答案　B

解析　①空集是它本身的子集；②空集只有一个子集；③空集不是它本身的真子集；④空集是任何非空集合的真子集．因此，①②③错误，④正确．

2．集合P＝{0,1}，Q＝{y|x²＋y²＝1，x∈N}，则集合P，Q间的关系是(　　)

A．P＝Q   B．PQ  

C．QP   D．不确定

答案　B

解析　由x²＋y²＝1，x∈N，得y＝±1,0，即Q＝{－1，0,1}，所以PQ.故选B.

3．已知集合A＝{x|x²－1＝0}，则下列式子表示正确的有(　　)

①1∈A；②{－1}∈A；③∅⊆A；④{1，－1}⊆A.

A．1个   B．2个  

C．3个   D．4个

答案　C

解析　A＝{x|x²－1＝0}＝{－1,1}，故①③④正确，②不正确．

4．满足{a}⊆M{a，b，c，d}的集合M共有(　　)

A．6个   B．7个  

C．8个   D．15个

答案　B

解析　依题意a∈M，且M{a，b，c，d}，因此M中必含有元素a，且可含有元素b，c，d中的0个、1个或2个，即M的个数等于集合{b，c，d}的真子集的个数，有2³－1＝7(个)．

5．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}．

(1)若A是B的真子集，求a的取值范围；

(2)若B是A的子集，求a的取值范围；

(3)若A＝B，求a的取值范围．

解　(1)若AB，由图可知a＞2.

(2)若B⊆A，由图可知1≤a≤2.

(3)由A＝B，可得a＝2.