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一周强化
一、一周知识概述
（一）分数指数幂、根式和对数的运算性质：
1、 =a（n∈N，且n为奇数），  （n∈N，且n为偶数）；
2、 ，
 ；
3、
4、对数的性质和运算法则
（1）几个恒等式（M，N，a，b都是正数，且a≠1，b≠1）
（2）积、商、幂、方根的对数（a>0，a≠1，M>0，N>0）
说明：
① （a>0且a≠1）是解决指、对数问题的一个有利工具．在进行指数式与对数式的互化时，既要知道指数式可以化为对数式，又要通晓对数式可以化为指数式．在解题时注意逆向思维，提高思维的灵活性．
②比较几个数的大小，是指、对数函数性质应用的常见题型．
一般取“0”、“1”这类数做参照，确定其值小于零、零到1之间或大于1，同一类的两数中，再根据函数性质加以比较．对于底、指数都不同的两个值的大小的比较，一般情况下要选取合适的中间量．若两值中，一值大于中间量，另一值小于中间量，问题就解决了，此类问题主要考查函数单调性．
（二）二次函数
1、二次函数的解析式主要有三种形式：
（1）一般式f(x)=ax2＋bx＋c（a≠0）；
（2）顶点式：f(x)=a(x－m)2＋n（a≠0）；
（3）两根式：f(x)=a(x－x1)(x－x2)（a≠0）.
解题时，应根据情况灵活运用.
确定二次函数的解析式，须且只需三个独立的条件.
2、二次函数在区间上的最值问题，可分成三类：
（1）对称轴固定，区间固定；
（2）对称轴变动，区间固定；
（3）对称轴固定，区间变动．
此类问题一般利用二次函数的图象及其单调性来考虑，通常应分对称轴与区间的位置情况讨论．
3、一元二次方程实根分布问题，若仅考虑根的符号，则用根与系数的关系及判别式解决，一些情况利用其相应的二次函数图象解决比较方便，通常考查四点：
（1）抛物线的开口方向；
（2）判别式的符号；
（3）区间端点函数值的符号；
（4）对称轴的位置.
4、二次函数与二次方程、二次不等式密切相关，解决二次函数问题时，要熟练运用二次方程的韦达定理、判别式、求根公式，以及二次不等式解集的相关知识．
5、解决二次函数的综合问题要抓住函数的图象特征来理解或帮助解决．
（三）指数函数、对数函数的图象和性质
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指数函数 |
对数函数 |
定义 |
y=ax(a>0，a≠1的常数)叫指数函数 |
y=logax(a>0，a≠1的常数)叫对数函数. |
定义域 |
（－∞，＋∞） |
（0，＋∞） |
值域 |
（0，＋∞） |
（－∞，＋∞） |
图象 |
|
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性质 |
(1) y>0
(2) 图象经过（0，1）点
(3) a>1,当x>0时,y>1；当x<0 时,0<y<1.
0<a<1，当x>0时，0<y<1；
当x<0时，y>1.
(4) a>1，y=ax为增函数；
0<a<1，y=ax为减函数. |
(1) x>0.
(2) 图象经过(1,0)两点.
(3) a>1，当x>1时，y>0；
当0<x<1时，y<0.
0<a<1，当0<x<1时，y>0.
(4) a>1，在（0，＋∞）上y=logax为增函数；
0<a<1在（0，＋∞）上y=logax为减函数. |
（四）函数的应用
函数的应用包括两个内容：
（1）用函数思想解决各种数学问题（特别具有一定难度的问题），即将一个不是函数的问题理解为函数问题，并用函数的方法解决它；
（2）正确选择变量建立函数模型解决各种应用问题．
1、函数的综合问题主要表现在以下几个方面：
（1）函数的概念、性质和方法的综合问题；
（2）函数与其他代数知识，主要是方程、不等式、数列的综合问题．
（3）函数与解析几何知识的综合问题等．
解决函数的综合问题，要认真分析、处理好各种关系，加深对函数的基础知识系统的整体把握，深入理解有关概念，正确运用有关性质，抓住函数的本质特征；掌握求函数表达式、定义域、值域、最值、单调区间、反函数的方法；对于函数与方程的综合问题，研究方程的解实质是确定函数图象与x轴交点的位置问题，可以看作是函数图象的一种特殊状态，这类问题考查的热点是方程解的讨论或方程解的条件，常以二次方程或对数方程中含有参数的问题出现，关键是运用相关知识和方法把问题转化为混合组处理，尤其注意等价转化的思想方法；对于函数与不等式的综合问题，要注意用运动变化的观点去观察、分析问题．函数方程思想、分类讨论思想、数形结合思想及等价转化思想是解决这类综合问题的关键；对于函数与解析几何的综合问题一般来说难度较大，应综合运用曲线与方程等有相关知识，注意运用多种数学思想方法解决．
2、解决应用问题是新教材所要求的一个重要能力，而函数型的应用问题是应用问题的主要题型之一，在学习中应抓住以下一些能力的训练：
（1）阅读理解、整理数据的能力：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关系、数据的单位等等；
（2）建立函数模型的能力：关键是正确选择正变量，将问题的目标表示为这个变量的函数（但在许多问题中，考虑到这个问题的难度，命题中会给出自变量），建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记考察函数的定义域；
（3）求解函数模型的能力：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大（小）值（注意这些能力目前还不高，只能解答一些简单的问题）、计算函数值等等，注意发挥函数图象的作用．
此外，对于数学问题的解，还应通过检验，回归到实际问题的解．
（五）简单指数方程与对数方程的解法
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方程类型 |
方程解法 |
检验 |
指数
方程
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ax=c(a>0，且a≠1，c>0) |
x=logaC |
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f(x)=g(x) |
A·a2x＋B·ax＋C=0 |
设ax=y，
则Ay2＋By＋C=0
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对数
方程
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logax=C |
x=ac |
一定要验根
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logaf(x)= logag(x) |
F(x)=g(x) |
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设logax=y，
则Ay2＋By＋C=0
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二、学法指导
本节的重点是指数函数、对数函数的图象和性质，以及指数方程和对数方程的解法．难点是指数函数与对数函数同是增函数（或同是减函数）的两函数图象之间的关系及有关性质；含参数的指数方程和对数方程的讨论．
1、指数式、对数式的运算、求值、化简、证明等问题主要依据幂、对数的运算法则及性质加以解决，在使用运算法则时要注意法则的逆用．在指数、对数的运算时还要注意相互间的转化．
2、指数函数与对数函数
同是增函数（或同是减函数）的两函数图像之间的关系及有关性质见下表：
3、指数方程和对数方程是超越方程．解指数方程和对数方程，主要是用转化的思想化归为已学过的代数方程来解，同时要注意对数方程的同解变形，重视验根．
4、对于含有指数函数或对数函数的混合型方程，常用图像法求方程的近似解或确定方程解的个数．
5、在解含有参数的指数、对数方程时，必须注意对字母的取值讨论，值得一提的是，数形结合是简化讨论的一种有效手段．
三、典型例题分析
例1、设 ，且a∈R，若当 时，f(x)有意义，求a的取值范围．
[分析、解答、评析]
例2、设
（1）求f(x)的定义域；
（2）f(x)是否存在最大值或最小值？如果存在，请把它求出来．
[解析与评析]
例3、已知二次函数f(x)=ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴有两个不同的公共点.若f(c)=0,
且0<x<c时，f(x)>0.
(I)试比较 与c的大小；
(II)证明：－2<b<－1；
(Ⅲ)当c>1，t>0时，求证：
[分析、解答、评析]
例4、已知函数y=f(x)=loga(a－kax)（a>0且a≠1，k∈R）.
（1）若f(x)的图象关于直线y=x对称，且f(2)=－2loga2，求a的值；
（2）当0<a<1时，若f(x)在[1，＋∞）内恒有意义，求k的取值范围.
[分析、解答、评析]
例5、已知函数f(x)=3x，且f－1(18)=a＋2，g(x)=3ax－4x的定义域为区间[－1，1].
（1）求g(x)的解析式；
（2）判断g(x)的单调性；
（3）若方程g(x)=m有解，求m的取值范围；
（4）若方程g(|x|)＋2|x|＋1=m恰有4个不相等的实数根，求m的取值范围.
[分析、解答、点评]
例6、某种名牌钢笔，每支进货价为50元，当销售价格定为每支x元，且50≤x≤80元，每天售出支数 ，若想每天销售获利最大，售价应定为每支多少元？最大利润是多少？
[分析、解答、点评]
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