主讲：高级级教师　余国琴

一周强化

一、一周知识概述

1、图形的旋转

　　在平面内，将一个图形绕一个定点O沿某个方向转动一个角度的图形变换叫做旋转，定点O叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角．如果图形上的点P经过旋转变为P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点．

　　(1)本章主要研究的是平面图形的旋转；

　　(2)旋转的过程中不改变图形的大小和形状；

　　(3)图形的旋转是由旋转中心，旋转方向和旋转角度所决定；

　　(4)旋转角度一般大于0°而小于360°；

　　(5)有关的对应量的确定：如果旋转中心和旋转角度确定后，一个图形由一个位置转到另一个位置，那么图形旋转前后的有关对应点、对应线段和对应角也是确定的．例如：

　　如下图中，△OAB绕O点顺时针旋转45°到△OA′B′的位置，那么点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，线段OA的对应线段是OA′，线段OB的对应线段是OB′．∠A的对应角是∠A′，∠B的对应角是∠B′，∠AOB的对应角是∠A′OB′，其中∠AOA′=∠BOB′=45°．

2、旋转的特征

　　(1)对应点到旋转中心的距离相等；

　　(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；

　　(3)旋转前后的图形全等．

　　旋转中心、旋转方向和旋转角是确定旋转的关键，图形在旋转的过程中，只改变图形的位置而不改变其形状和大小．

3、中心对称

　　把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．

　　(1)中心对称是指两个图形的关系，成中心对称的两个图形只有一个对称中心，并且一个图形上的所有点关于对称中心的对称点都在另一个图形上，反过来，另一个图形上的所有点关于这个中心的对称点都在这个图形上；

　　(2)如图，△ABC绕着点O旋转180°，和△A′B′C′能够完全重合，则这两个三角形关于点O对称，点O叫对称中心，A与A′，B与B′，C与C′叫关于O的对称点．

4、中心对称的特征及识别方法

　　(1)关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；

　　(2)关于中心对称的两个图形是全等形；

　　(3)如果两个图形的对应点连成的线段都经过某一点，并且被该点平分，那么这两个图形关于这点成中心对称．

　　(4)中心对称的特征揭示了其图形的特征如上图所示，如果△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则：①A，O，A′；B，O，B′；C，O，C′均三点共线，且OA=OA′，OB=OB′，OC=OC′；②△ABC≌△A′B′C′；

　　(5)如果已知△ABC与△A′B′C′关于某点成中心对称，则点O必为AA′、BB′、CC′的中心，且它们是同一点，故也可以连结AA′、BB′，则其交点即为对称中心．

5、中心对称图形

　　把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．

　　(1)由中心对称图形的定义可知，中心对称图形是特殊的旋转对称图形，它旋转的角度是180°，它们之间的关系是：；

　　(2)中心对称与中心对称图形是两个不同的概念，中心对称图形是对一个图形来说的，它指的是某一个图形所具有的性质，即这个图形绕它本身的中心旋转180°后能与自身重合；而中心对称则是对两个图形而言的，它描述的是两个图形的一种位置关系，即将一个图形绕某一点旋转180°后，如果它能与另一个图形重合，那么这两个图形成中心对称．

　　如果把成中心对称的两个图形看成一个整体，那么这个整体也就是中心对称图形．

6、关于原点对称的点的坐标

　　两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x,y)关于原点的对称点为P′(-x,-y)．

　　理解关于原点对称的点的坐标的特征时，要结合图形理解记忆，要善于将点的位置关系转化为点的坐标的数量关系和将点的坐标的数量关系转化为点的位置关系．

二、重难点知识归纳

三、典型例题剖析

例1、两块完全相同的矩形拼成L形(如图所示)．(1)求∠ACF的度数；(2)说明△ACF的形状．

思路：

　　两个完全相同的矩形拼成L形，可以看作是把矩形ABCD绕C点顺时针旋转90°到矩形FGCE的位置，由旋转的特征可以求解．

解：

　　由旋转的特征可知：

　　(1)∠ACF=90°；

　　(2)AC=FC，故△ACF为等腰直角三角形．

总结：

　　灵活运用旋转的特征是解决问题的关键．

例2、如图，已知P为正三角形ABC内的一点，∠APB=113°，∠APC=123°．

求证：以AP、BP、CP为边可以构成一个三角形，并确定所构成的三角形各内角的度数．

思路：

　　要判断AP、BP、CP三条线段能否构成一个三角形的三条边，常采用判定其中任两条线段之和大于第三线段的办法，然而如何求所构成的三角形各内角的度数呢？如果以点C为中心，将△APC逆时针旋转60°，A点移动到B点的位置，线段CA移动到CB的位置，P点移动到D点的位置，奇迹就会发生！你试试．

解：

　　以点C为中心，将△APC逆时针旋转60°，得如图所示的图形，连结PD．

　　因旋转不改变图形的形状和大小，所以，CP=CD，∠PCD=60°，

　　∴△PCD为等边三角形，

　　∴PD=CP，AP=BD，

　　△BPD就是以BP，AP(=BD)，CP(=PD)为三边构成的三角形．

　　∵∠BDC=∠APC=123°，∠CPD=∠CDP=60°

　　∴∠BDP=∠BDC-∠CDP=∠APC-∠CDP=123°-60°=63°

　　∠BPD=360°-∠APB-∠APC-∠DPC=360°-113°-123°-60°=64°

　　∠PBD=180°-63°-64°=53°

总结：

　　本题我们通过将△APC绕定点C逆时针旋转60°，将AP、BP、CP相对集中，直观地证明了以这三条线段为边的△BPD存在，并且巧妙地计算出了其三个内角的度数．它告诉我们：旋转是重要的数学方法，是集中分散的条件的重要手段！

例3、如图所示，请在网格中画出四边形A′B′C′D′，使它与原四边形ABCD关于点O成中心对称．

思路：

　　寻找A、B、C、D关于中心O的对称点A′、B′、C′、D′，如A点对称点画法：①连结OA；②延长AO至A′，使OA′=OA，A′即为所求．

画法：

　　(1)连结OA，并延长AO至一点A′；

　　(2)在AO延长线上截取OA′=OA，得A的对称点A′；(用刻度尺或圆规截取，不能估计)

　　(3)依次画出B、C、D关于点O′的对称点B′、C′、D′，连结A′B′，B′C′，C′D′，D′A′．

　　如图所示，得四边形A′B′C′D′为所求的四边形．

总结：

　　(1)由中心对称图形性质：对应点与中心连线在一条直线上，并且被对称中心平分，因此画图时，将A′与O连结并延长一倍即可得到对应点A；

　　(2)网格上对应点也可以通过数单位长度来确定对应点．

例4、(1)已知点P(a-1,a2-9)在x轴的负半轴上，求P点关于原点对称的点的坐标；

　　　(2)已知点A与点B(1,-6)关于y轴对称，求点A关于原点的对称点C的坐标；

　　　(3)若点P(-1-2a,2a-4)关于原点对称的点在第一象限内，则a的整数值是多少？

思路：

　　(1)点P在x轴的负半轴上，则知其横坐标小于0，纵坐标等于0，由此可求得点P的坐标，再根据关于原点对称的点的坐标的特征求解；

　　(2)点(a,b)关于y轴对称点的坐标为(-a,b)，由此先求A点坐标，再求C点坐标；

　　(3)由于点P(-1-2a,2a-4)关于原点对称的点在第一象限，故点P应在第三象限，于是有-1-2a<0，2a-4<0，由此求出a的整数值．

解：

　　(1)∵P(a-1,a2-9)在x轴的负半轴上，

　　　　∴

　　　　故P点坐标为(-4,0)，∴点P关于原点对称的点的坐标为(4,0)；

　　(2)因为点A与点B(1,-6)关于y轴对称，所以点A的坐标为(-1,-6)

　　　　又∵点C和点A关于原点对称

　　　　∴C点的坐标为(1,6)；

　　(3)因为点P(-1-2a,2a-4)关于原点的对称点在第一象限，所以点P(-1-2a,2a-4)在第三象限

　　　　∴

　　　　又∵a为整数，∴a的值为0或1．

　　　　即a的整数值为0或1．

例5、请你用旋转和轴对称分析图中图案的形成过程．

思路：

　　图中是由四个全等三角形组成的，若将四个全等的三角形从上往下依次标为1、2、3、4，则△1与△2关于一边轴对称．△1、△2组成的图形与△3、△4组成的图形可以看做是绕一边中点旋转180°前后图形组成的．

解：

　　上图可以看做按照如下步骤形成的：

　　(1)以一个三角形的一边为对称轴作轴对称图形；

　　(2)将所得的图形以一边中心为对称中心旋转180°前后的图形共同形成的．

总结：

　　抓住图形的位置特征，用学过的平移、旋转或轴对称的特征去分析它，从中发现其形成过程．

例6、如图所示的正方形的面积为16，观察如下的操作并回答：

　　(1)连结对角线，把正方形分成两个三角形，如图(1)，则每个三角形的面积是多少？

　　(2)再画另一条对角线，两对角线将正方形分成了四个小三角形，如图(2)，那么这四个小三角形的面积是多少？这四个小三角形之间是什么关系？

　　(3)将这两条互相垂直于O点的直线绕O点旋转形成四个四边形，如图(3)，这四个四边形间有何关系？其面积是多少？

　　(4)将与正方形ABCD同样大小的一个正方形OEFG的一个顶点放在O点，并将其旋转，如图(4)，在旋转过程中两正方形重叠部分的面积怎样变化？

思路：

　　(1)图(1)中的两个三角形既是轴对称图形也是中心对称图形，每个三角形的面积是正方形面积的一半；

　　(2)图(2)中的四个小三角形是旋转对称的，每个小三角形的面积都等于正方形面积的；

　　(3)图(3)中根据旋转对称的定义即可判断这四个四边形的关系，从而求出它们的面积；

　　(4)根据旋转对称的性质将两正方形重叠部分的面积转化为其他图形的面积求出，从而确定面积的变化情况．

解：

　　(1)每个三角形的面积等于正方形面积的一半，所以；

　　(2)每个小三角形的面积都等于正方形面积的，所以；因为将△AOB绕O点依次顺时针旋转90°可得到△AOD、△DOC、△COB，故这四个小三角形旋转对称；

　　(3)仿照(2)可得：这四个四边形旋转对称、每个的面积为4；

　　(4)如图(4)，△DOP与△COQ关于点O旋转对称，∴S△DOP=S△COQ，两正方形重叠部分的面积

　　

　　故旋转过程中两正方形重叠部分的面积是一个定值．

总结：

　　利用旋转对称中的线段相等，旋转对称中的图形形状、大小不变等进行转换来解题．

例7、如图，在等边△ABC内有一个点P，PA=10，PB=8，PC=6，求∠BPC的度数．

思路：

　　PA、PB、PC三条线段的长度分别为10、8、6，恰好为一个直角三角形的三条边，可设法将三条线段集中到一个三角形中．

解：

　　以C为中心，将△APC旋转60°，得到△BP′C(如图)，则

　　BP′=AP=10，CP′=CP=6，∠PCP′=60°，

　　∴△PCP′为等边三角形，∴PP′=6，

　　又PB=8，∴BP′2=P′P2+BP2，

　　∴△BPP′为直角三角形，

　　∴∠BPP′=90°，

　　则∠BPC=∠BPP′+∠P′PC=150°．

总结：

　　在一些含有特殊角的问题中，常以这些角为旋转角，以这些角的顶点为中心进行旋转，将已知的等量关系或分散的线段集中在一起，从而得出结论．

例8、如图中的花边的图案是以正方形为基础，由圆弧或圆构成，仿照例图，请你为班组黑板报设计一条花边．要求：

　　(1)只要画出组成花边的一个图案，不写画法，不需配文字；

　　(2)以所给正方形为基础，用圆弧或圆画出；

　　(3)图案应有美感；

　　(4)与例图不同．

思路：

　　图案设计题，要充分发挥自己各方面的潜能，亲身经历并体验探究过程，要学会思考，善于动手，此题答案不惟一．

解：

　　此题答案不惟一，可以多种多样，符合要求即可，图中所示的几种图案以供参考．

总结：

　　图形设计题主要是以实际问题为背景，注重了对图形信息的观察和分析过程，注重了对知识的发现和探究过程，同时，由于答案和方法的多样性给了学生广阔的思维空间，对学生的主动发展以及发散性思维和创造性思维的培养是很有好处的．

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