1、数学知识的应用是学习数学的目的，用二次函数知识解决实际生活中的应用问题，特别是与经济生活相关的经济型问题是考查的热点．在实际问题中，若由题意列出的函数关系式是一个二次函数，则这些问题属于二次函数的最值问题．解决这类问题的关键是审清题意，建立二次函数关系式．实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义．因此在求二次函数的最值，一定要注意自变量x的取值范围．
2、数学模型的建立．利用二次函数的最值解决实际问题时，要恰当地把实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而以确定二次函数的表达式．另外，当求出最值时，要核实抛物线的最值与实际问题的最值是否一致，这就要求我们必须认真审题．
3、与二次函数有关的应用问题包括图象信息问题和以现实生活为背景的情境应用问题．
如利用平面几何图形的有关条件和性质建立平面几何图形面积的二次函数表达式，并利用二次函数的图象和性质确定最大或最小面积，其中求几何图形面积的常见方法有：利用几何图形的面积公式求几何图形的面积；利用几何图形的面积和或差求几何图形的面积．
日常生活中的生产、经营活动中的最大产值、最大利润等最优化问题．
例1、如图所示，有长为24m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度a为10m)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．
(1)求S与x的函数关系式；
(2)如果要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米?
(3)能围成面积比45m2更大的花圃吗?如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．
分析：
由图形可知花圃的宽为AB=xm，长BC为(24－3x)m，则S与x的函数关系式不难求解出，第(2)、(3)问可利用S与x的函数关系式来解答．
解：
(1)设宽AB=xm，则BC=(24－3x)m，
此时面积S=x·(24－3x)=－3x2＋24x．
(2)由条件得－3x2＋24x=45，
化为x2－8x＋15=0，解得x1=5，x2=3．
∵0＜24－3x≤10，得
，
∴x2=3不符合题意，故AB=5，即花圃的宽为5m．
(3)S=－3x2＋24x=－3(x2－8x)=－3(x－4)2＋48．
∵
，∴当
时，
．
∴能围成面积比45m2更大的花圃．花圃的长取
，宽取
，这时有最大面积
．
误区警示：
首先在确定函数y=－3(x－4)2＋48的最大值时，应根据实际情形
及函数的性质来综合说明，切忌不加分析而误认为当x=4时，其面积有最大值48m2；其次是在利用数学方法求出的结论中，必须检验该结果的合理性．
例2、某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）.在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面
米，入水处距池边的距离为4米，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误.
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为
米，问此次跳水会不会失误？
并通过计算说明理由.
分析：
（1）在给出的直角坐标系中，要确定抛物线的解析式，就要确定抛物线上三个点的坐标，如起跳点O（0，0），入水点（2，－10），最高点的纵点标为
.
（2）求出抛物线的解析式后，要判断此次跳水会不会失误，就是要看当该运动员在距池边水平距离为
米. 
时，该运动员是不是距水面高度为5米.
解：
（1）在给定的直角坐标系下，设最高点为A，入水点为B，抛物线的解析式为
.
由题意，知O（0，0），B（2，－10），且顶点A的纵坐标为2/3.
解得
或
∵抛物线对称轴在
轴右侧，∴
又∵抛物线开口向下，∴a＜0,b＞0
∴抛物线的解析式为
（2）当运动员在空中距池边的水平距离为
米时，
即
时，
∴此时运动员距水面的高为
因此，此次跳水会失误.
例3、如图，在平行四边形ABCD中，AD=4cm，∠A=60°，BD⊥AD．动点P从A出发，以1cm/s的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD．
(1)当点P运动2s时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积；
(2)当点P运动2s时，另一动点Q也从A出发沿A→B→C的路线运动，且在AB上以1cm/s的速度匀速运动，在BC上以2cm/s的速度匀速运动．过Q作直线QN，使QN∥PM．设点Q运动的时间为ts(0≤t≤10)，直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为Scm2．
①S关于t的函数关系式；
②求S的最大值．
分析：
本题集代数、几何知识为一体，综合性较强．问题(1)涉及∠A=60°，△APE为直角三角形，必然运用到勾股定理；问题(2)应运用分类讨论的数学思想，即点P，点Q运动的位置有三种情形．而求S的最大值时，要充分运用二次函数的性质及自变量的取值范围．
解：
(1)当点P运动2s时，AP=2cm，由∠A=60°，
知AE=1cm，
，∴
．
(2)①当0≤t≤6时，点P与点Q都在AB上运动，设PM与AD交于点G，QN与AD交于点F，
则AQ=t，
，AP=t＋2，
．
∴此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为
．
当6≤t≤8时，点P在BC上运动，点Q仍在AB上运动．
设PM与DC交于点G，QN与AD交于点F，
则AQ=t，
，BP=t－6，CP=10－t，
，
而
，故此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为
．
当8≤t≤10时，点P和点Q都在BC上运动．设PM与DC交于点G，QN与DC交于点F，
则CQ=20－2t，
，CP=10－t，
．
∴此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为
．
故S关于t的函数关系式为
②当0≤t≤6时，S的最大值为
；
当6≤t≤8时，S的最大值为
；当8≤t≤10时，S的最大值为
；
所以当t=8时，S有最大值为
．
反思：
动点问题应弄清动点在不同位置时所得图形的面积不同，所以探究最值时应在各自的取值范围内探究．
例4、心理学家研究发现，一般情况下，学生的注意力随着教师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的状态，随后学生的注意力开始分散，经过实验分析可知，学生的注意力y随时间t的变化规律有如下关系：
（1）讲课开始后第5分钟时与讲课开始后第25分钟时比较，何时学生的注意力更集中？
（2）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？
（3）一道数学难题，需要讲解24分钟，为了效果较好，要求学生的注意力最低达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？
分析：
此题涉及到二次函数、一次函数相结合的分段函数的应用，根据所给的函数正确画出草图，结合图象有助于解决问题．
解：
（1）当
，当
时，
∴讲课开始后第25分钟时学生的注意力比讲课开始后第5分钟时更集中．
（2）当
，该图象的对称轴为
，在对称轴左侧，y随t的增大而增大，所以，当
时，y有最大值240。
当
时，
，y随t的增大而减小，所以，当t=20时，y有最大值240。
所以，讲课开始后10分钟时，学生的注意力最集中，能持续10分钟．
（3）当
时，令
∴t=4
当
所以，学生注意力在180以上的持续时间为
（分钟）。
所以，老师可以经过适当安排，能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目。
反思：
本例从心理学的角度，借助于几种分段函数的关系式的性质来研究学生注意力的集中程度，尽管试题未在难度上着墨，但颇有新意，体现出对灵活思维能力的要求．注意在利用二次函数的性质时，要根据自变量的取值范围进行取舍．
