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主讲：方敏文
一周强化
一、一周知识概括
1、二次函数的定义
一般地，形如y=ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数．如y=3x2，y=3x2－2，y=2x2＋x－1等都是二次函数．
注意：(1)二次函数是关于自变量的二次式，二次项系数a必须是非零实数，即a≠0，而b，c是任意实数，二次函数的表达式是一个整式；
(2)二次函数y=ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)，自变量x的取值范围是全体实数；
(3)当b=c=0时，二次函数y=ax2是最简单的二次函数；
(4)一个函数是否是二次函数，要化简整理后，对照定义才能下结论，例如y=x2－x(x－1)化简后变为y=x，故它不是二次函数．
2、二次函数y=ax2的图象和性质
（1）函数y=ax2的图象是一条关于y轴对称的曲线，这条曲线叫抛物线．实际上所有二次函数的图象都是抛物线．
二次函数y=ax2的图象是一条抛物线，它关于y轴对称，它的顶点坐标是(0，0)．
①当a>0时，抛物线y=ax2的开口向上，在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升，顶点是抛物线上位置最低的点，也就是说，当a>0时，函数y=ax2具有这样的性质：当x<0时，函数y随x的增大而减小；当x>0时，函数y随x的增大而增大；当x=0时，函数y=ax2取最小值，最小值y=0；
②当a<0时，抛物线y=ax2的开口向下，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降，顶点是抛物线上位置最高的点．也就是说，当a<0时，函数y=ax2具有这样的性质：当x<0时，函数y随x的增大而增大；当x>0时，函数y随x的增大而减小；当x=0时，函数y=ax2取最大值，最大值y=0；
③当|a|越大时，抛物线的开口越小，当|a|越小时，抛物线的开口越大．
（2）二次函数y=ax2的表达式的确定
因为二次函数y=ax2中只含有一个需待定的系数a，所以只需给出x与y的一对对应值即可求出a的值．
3、二次函数y=ax2＋c的图象与性质
(1)抛物线y=ax2＋c的形状由a决定，位置由c决定．
(2)二次函数y=ax2＋c的图象是一条抛物线，顶点坐标是(0，c)，对称轴是y轴．
当a>0时，图象的开口向上，有最低点(即顶点)，当x=0时，y最小值=c．在y轴左侧，y随x的增大而减小；在y轴右侧，y随x增大而增大．
当a<0时，图象的开口向下，有最高点(即顶点)，当x=0时，y最大值=c．在y轴左侧，y随x的增大而增大；在y轴右侧，y随x增大而减小．
(3)抛物线y=ax2＋c与y=ax2的关系．
抛物线y=ax2＋c与y=ax2形状相同，只有位置不同．抛物线y=ax2＋c可由抛物线y=ax2沿y轴向上或向下平行移动|c|个单位得到．当c>0时，向上平行移动，当c<0时，向下平行移动．
二、重点知识讲解
1、二次函数的基本特征是其函数解析式是关于自变量的二次式，在判断一个函数是否为二次函数时，应抓住这个基本特征，同时应注意a≠0这个条件.
例1、下列函数中，（x，m为自变量），哪些是二次函数？
（1）n=m2－3m＋ （2）y=－1＋x2
（3） （4）
（5）y=ax2＋bx＋c （6）
解：
根据二次函数的定义可知
（1）（2）（6）是二次函数，其中（6）式可写成 ，而（3）的右边不是整式．（4）是m的三次函数，（5）中a应不为0．
2、学习y=ax2的图象及性质时应着重掌握对称轴、顶点、性质；在学习性质时，应当注意a的作用，它的符号决定了抛物线的开口方向，它的绝对值决定了抛物线的开口大小。
例2、在同一直角坐标系中，
(1)画出下列函数的图象．① ；②y=2x2；③ ；④y=－2x2；
(2)说出四个图象的区别与联系．
分析：
列表时，应在顶点的左右两侧对称地选取自变量x的值，并把函数 放在一起，把y=2x2和y=－2x2放在一起列表时要方便些．一般情况下，包括顶点，描出5至7个点即可．连线时要注意平滑，图象的两边要伸展出去．
解：(1)①列表：
x |
－4 |
－3 |
－2 |
－1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
8 |
4.5 |
2 |
0.5 |
0 |
0.5 |
2 |
4.5 |
8 |
|
－8 |
－4.5 |
－2 |
－0.5 |
0 |
－0.5 |
－2 |
－4.5 |
－8 |
x |
－2 |
－1.5 |
－1 |
－0.5 |
0 |
0.5 |
1 |
1.5 |
2 |
y=2x2 |
8 |
4.5 |
2 |
0.5 |
0 |
0.5 |
2 |
4.5 |
8 |
y=－2x2 |
－8 |
－4.5 |
－2 |
－0.5 |
0 |
－0.5 |
－2 |
－4.5 |
－8 |
②描点；
③连线．如图所示．
(2)四个图象的区别与联系，如下表：
函数 |
区别 |
联系 |
图象开口方向 |
抛物线位置 |
开口大小 |
y=2x2
|
a>0，开口向上 |
抛物线除顶点在x轴上外，其余在x轴上方，并向上无限延伸 |
当|a|变大时，抛物线开口变窄，当|a|变小时，抛物线开口变宽 |
四个图象的顶点都是原点，对称轴都是y轴
|
y=－2x2
|
a<0，开口向下 |
抛物线除顶点在x轴上外，其余在x轴下方，并向下无限延伸 |
当|a|变大时，抛物线开口变窄，当|a|变小时，抛物线开口变宽 |
反思：①对于y=2x2和y=－2x2，|a|>1，在选取x的值时，每两点相隔半个单位比每两点相隔一个单位画图方便．
②一定要对图象仔细观察，常误认为|a|越大，开口越大，|a|越小，开口越小．而实际上恰好相反，即|a|越大，开口越小，|a|越小，开口越大．
③用平滑曲线连接各点时，两点间不能出现直线的情况．
例3、已知抛物线y=ax2经过点A(－2，－8)．
(1)判断点B(－1，－4)是否在此抛物线上：
(2)求出此抛物线上纵坐标为－6的点的坐标．
分析：
先把点A(－2，－8)代入抛物线的表达式y=ax2中，确定a的值，从而确定抛物线y=ax2的表达式，再把B点坐标代入验证是否满足抛物线的表达式，最后将y=－6代入表达式，即通过解方程求出横坐标．
解：
(1)把(－2，－8)代入y=ax2得－8=a(－2)2．
∴a=－2．∴抛物线的关系式为y=－2x2．
∵－4≠－2×(－1)2，∴点B(－l，－4)不在此抛物线上．
(2)由－6=－2x2，得 ，
∴抛物线上纵坐标为－6的点有两个，即( ，－6)和( ，－6)．
反思：由于抛物线是轴对称图形，所以除顶点外，每一个y值都对应着两个x值．注意不要漏掉一个．
例4、在同一直角坐标系中，作出二次函数y=2x2－2和y=2x2＋3的图象，观察图象，可得出哪些结论？
解析：
按作二次函数图象的三个步骤，列表，描点，连接可分别作出它们的图象，再由它们的形状，开口方向，对称轴，顶点坐标及平移等可得．
解：（1）列表：
x |
|
－2 |
－1 |
0 |
1 |
2 |
|
…… |
y=2x2－2 |
10.5 |
6 |
0 |
－2 |
0 |
6 |
10.5 |
…… |
y=2x2＋3 |
15.5 |
11 |
5 |
3 |
5 |
11 |
15.5 |
…… |
（2）描点；
（3）用光滑曲线连接，得两支抛物线．
设y=2x2＋3 ①和y=2x2－2 ②
观察两函数图象可知：
1）①、②的图象形状相同；
2）开口方向相同，都向上；
3）对称轴都是y轴；
4）①的图象顶点坐标是（0，3），②的图象顶点坐标是（0，－2），其中①的图象可以看成是②的图象向上平移5个单位得到，反之②的图象也可以看成是①的图象向下平移5个单位得到．
5）当x<0时，①、②中y的值随x增大而减小，当x=0，①、②中y=0，当x>0时，①、②中y的值随x增大而增大．
三、难点知识突破
1、对二次函数概念的理解
例5、已知函数 (m是常数)．当m为何值时，此函数为二次函数?
分析：
根据二次函数的定义知m2－3m－2=2且m＋1≠0．即当m=4(m=－1不合题意，舍去)时，y=5x2＋3x是二次函数．
解：
由题知m2－3m－2=2，m＋1≠0，解得m=4．∴当m=4时，此函数为二次函数．
误区警示：
在求解本题时，既要考虑x的最高次项的指数为2，又要考虑它的系数不为0，缺一不可，否则容易犯顾此失彼的错误．
2、数形结合是数学的重要思想之一，二次函数y=ax2的图象是一条抛物线，它的顶点的纵坐标对应着Y的最值；它的图象与X轴的位置关系对应着Y的符号。下面以两道简单的例题进行说明。
例6、求下列函数的最值：
（1）y=3x2 （2）y=-3x2
解析：
（1）由y=3x2的图象可知，当x＜0时，y随x增大而减小，当x＞0时，y随x增大而增大，因此，顶点为图象的最低点，顶点的纵坐标为y的最小值。
（2）同理由y=-3x2的图象可知当x＜0时，y随x增大而增大，当x＞0时，y随x增大而减小，因此，顶点为图象的最高点，顶点的纵坐标为y的最大值。
3、二次函数Y=ax2＋c的表达式的确定
二次函数y=ax2＋c的表达式中含有a、c两个字母系数，一般需要两个独立的条件并用待定系数法确定a、c即可．有时在实际问题中，还需要根据抛物线的位置和形状来设出函数表达式，再利用待定系数法来确定函数表达式．
例7、已知抛物线y=ax2＋c与直线y=x＋l交于两点A(1，m)和B(n，－1)，求抛物线的解析式．
分析：
先由两点A、B在直线y=x＋1上，分别求得m，n的值，从而得A、B两点的坐标，又抛物线过A、B两点，代入表达式中，解方程组得出结论．
解：
∵抛物线y=ax2＋c与直线y=x＋l交于两点A(1，m)，B(n，－1)，
∴A(1，2)，B(－2，－1)．
代入抛物线的表达式中，得
解这个方程组，得a=－1，c=3．
故抛物线的表达式为y=－x2＋3．
反思：解题次序很重要，本题应该先由A、B在直线上，求得m，n的值，然后再用待定系数法求a、c的值，从而得到抛物线的表达式．另外，点在直线或抛物线上，则点的坐标适合直线或抛物线对应的表达式．
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