专题　作辅助线的截长补短法

专题概说：证明线段的和、差、倍、分问题时，常采用“截长”、“补短”等方法．

例、如图，已知AD是△ABC的角平分线，∠B=2∠C，求证：AC=AB＋BD．

证法一：

　　（截长法）在AC上截取AE=AB，连接DE．

　　因为AD平分∠BAC，所以∠2=∠1．

　　又因为AD=AD，所以△BAD≌△EAD（SAS）．

　　所以BD=ED．所以∠3=∠B=2∠C．

　　因为∠3=∠C＋∠4，

　　所以2∠C=∠C＋∠4，所以∠C=∠4，

　　所以DE=CE．所以CE=BD．

　　所以AC=AE＋EC=AB＋DB．

证法二：

　　（补短法）如图，延长AB到E，使BE=BD，连接DE，所以∠E=∠1．

　　因为∠2=∠E＋∠1=2∠E，

　　又因为∠2=2∠C（已知），所以∠C=∠E．

　　因为∠4=∠3，AD=AD，所以△ADC≌△ADE（AAS），

　　所以AC=AE．

　　因为AE=AB＋BD，所以AC=AB＋BD．

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